Conjunto de Vitali

Na matemática, o conjunto de Vitali é um subconjunto dos números reais, que pode ser construído, mas cuja existência é consequência do axioma da escolha, e que serve como contra-exemplo para várias propriedades ou como bloco construtor de vários paradoxos.

Em resumo, ele é um conjunto de números reais tal que qualquer número real é a soma de um único elemento dele e um único número racional.

ConstruçãoEditar

Seja   a relação em   definida por  . Como essa relação é de equivalência, podemos escolher (e nesse ponto estamos conjurando o axioma da escolha) um representante de cada classe de equivalência. O Conjunto de Vitali é esse conjunto formado pelos representantes de cada classe de equivalência.

Aqui cabe uma observação: o axioma da escolha garante que esse conjunto existe, mas não garante que ele seja único; então devíamos dizer um (em vez de o) Conjunto de Vitali.


O conjunto de Vitali não é mensurável a LebesgueEditar

Denote por   um conjunto de Vitali e por   a medida exterior de Lebesgue.

Considere   uma enumeração para   e construa o conjunto:

 , onde:
 

Vamos mostrar agora as inclusões:

 

Da forma como foi construído o conjunto, temos:

 

Então, se   e  , vale  .


Agora, seja  . Então, existe   tal que  , ou seja,  .

Como  , temos que   e   para algum  . Logo,  .


Vamos mostrar agora que os conjuntos   são disjuntos. Para tal, considere um elemento   na intersecção de dois destes conjuntos:

 

Então:

  com  

Logo:

 

Como o conjunto de Vitali foi construído tomando apenas um elemento de cada classe de equivalência,  , o que implica   e, portanto,  .

Finalmente, podemos provar que   não é mensurável. Partimos da estimativa:

 
 

Para terminar o resultado considere   mensurável e observe que a medida de Lebesgue é  -aditiva e invariante por translações. O que nos leva à seguinte expressão:

 

O somatório é finito apenas se   for nulo, caso em que a soma é também nula e portanto inferior a 1.