Conjunto de Vitali

Na matemática, um conjunto de Vitali é um subconjunto dos números reais, que pode ser construído, mas cuja existência é consequência do axioma da escolha, e que serve como contra-exemplo para várias propriedades ou como bloco construtor de vários paradoxos.

Em resumo, ele é um conjunto de números reais tal que qualquer número real é a soma de um único elemento dele e um único número racional.

Construção

Seja $x\sim y\,$ a relação em $\left[0,1\right]\subset \mathbb {R} \,$ definida por $x\sim y\Leftrightarrow x-y\in \mathbb {Q} \,$. Como essa relação é de equivalência, podemos escolher (e nesse ponto estamos conjurando o axioma da escolha) um representante de cada classe de equivalência. O Conjunto de Vitali é esse conjunto formado pelos representantes de cada classe de equivalência.

Aqui cabe uma observação: o axioma da escolha garante que esse conjunto existe, mas não garante que ele seja único; então devíamos dizer um (em vez de o) Conjunto de Vitali.

O conjunto de Vitali não é mensurável a Lebesgue

Denote por $V\,$ um conjunto de Vitali e por $\mu ^{*}\,$ a medida exterior de Lebesgue.

Considere $\{r_{j}\}_{j=1}^{\infty }\,$ uma enumeração para $[-1,1]\cap \mathbb {Q} \,$ e construa o conjunto:

$S=\bigcup _{j=1}^{\infty }(V+r_{j})\,$, onde:

$V+r_{j}=\{x+r_{j}:x\in V\}\,$

Vamos mostrar agora as inclusões:

$[0,1]\subseteq S\subseteq [-1,2]\,$

Da forma como foi construído o conjunto, temos:

$V\subseteq [0,1]\,$

Então, se $x\in V\,$ e $r_{j}\in [-1,1]\,$, vale $x+r_{j}\in [-1,2]\,$.

Agora, seja $x\in [0,1]\,$. Então, existe $y\in V\,$ tal que $x\sim y\,$, ou seja, $x-y=r,\,r\in \mathbb {Q} \,$.

Como $x,y\in [0,1]\,$, temos que $r\in [-1,1]\,$ e $r=r_{j}\,$ para algum $j\,$. Logo, $x\in S\,$.

Vamos mostrar agora que os conjuntos $V+r_{j}\,$ são disjuntos. Para tal, considere um elemento $x\,$ na intersecção de dois destes conjuntos:

$x\in \left(V+r_{i}\right)\cap \left(V+r_{j}\right)\,$

Então:

$x=y+r_{i}=z+r_{j}\,$ com $y,z\in V\,$

Logo:

$y-z=r_{j}-r_{i}\in \mathbb {Q} \Longrightarrow y\sim z\,$

Como o conjunto de Vitali foi construído tomando apenas um elemento de cada classe de equivalência, $y=z\,$, o que implica $r_{i}=r_{j}\,$ e, portanto, $i=j\,$.

Finalmente, podemos provar que $V\,$ não é mensurável. Partimos da estimativa:

$\mu ([0,1])\leq \mu ^{*}(S)\leq \mu ([-1,2])\,$

$1\leq \mu ^{*}\left(\bigcup _{j=1}^{\infty }(V+r_{j})\right)\leq 3\,$

Para terminar o resultado considere $V\,$ mensurável e observe que a medida de Lebesgue é $\sigma$-aditiva e invariante por translações. O que nos leva à seguinte expressão:

$1\leq \sum _{j=1}^{\infty }\mu (V)\leq 3\,$

O somatório é finito apenas se $\mu (V)\,$ for nulo, caso em que a soma é também nula e portanto inferior a 1.