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Congruência (álgebra)

Em álgebra diz-se que a é congruente a b módulo m se m|(a - b). Usamos como símbolo de a congruente a b modulo m :.

Breve históriaEditar

Carl Friedrich Gauss foi o grande introdutor da congruência, pois começou a mostrar ao mundo a congruência a partir de um trabalho realizado em 1801, Disquisitiones Arithmeticae, quando tinha apenas 24 anos de idade. Várias ideias usadas na teoria dos números foram introduzidas neste trabalho, até mesmo o símbolo usado na congruência atualmente foi o que Gauss usou naquela época.

Propriedade da congruênciaEditar

  • Se   então existe um inteiro k tal que a = b + km.
  • Sempre  ;
  • Se  , então:  ;
  • Se   e  , então:  ;
  • Se   e   , então  
  • Se  , então:  , onde c é um inteiro;
  • Se  , então:  , onde c é um inteiro;
  • Se  , então:  , onde c é um inteiro;
  • Se   e  , então:  ;
  • Se   e  , então:  ;
  • Se   e  , então:  ;
  • Se  , então:  , onde d é o máximo divisor comum de c e m.

Congruência linearEditar

Chamemos de congruência linear em uma variável x uma congruência da forma:  .

Propriedade da congruência linearEditar

  • Tenhamos uma congruência   e seja d o MDC de a e m, então se d não divide b, não temos nenhuma solução, mas, se d|b então temos exatamente d soluções incongruentes modulo m.

Equação DiofantinaEditar

Uma equação diofantina é uma equação da forma  . Seja   o MDC de   e  , se   não divide   então não teremos nenhuma solução inteira, mas, se   então existem infinitas soluções inteiras dadas pela forma:   e  , onde   e   são soluções particulares e   é qualquer inteiro.

Ver tambémEditar