Conjectura de Andrica

Problema não resolvido em matemática:

A desigualdade

é válida , onde é o n-ésimo número primo?


A Conjectura de Andrica é um dos problemas não resolvidos da matemática, sendo relacionada com a distribuição dos números primos e a distância entre dois primos consecutivos. Seu nome é homenagem ao matemático Dorin Andrica.[1]

(a) A função para os primeiros 100 primos.
(b) A função para os primeiros 200 primos.
(c) A função para os primeiros 500 primos.
Provas gráficas da Conjectura de Andrica para (a)100, (b)200 e (c)500 números primos. A função é sempre menor que 1.

ConjecturaEditar

A conjectura afirma que a desigualdade

 

é válida   (para todo n), onde   representa o n-ésimo número primo. Se   denota a n-ésima diferença entre dois primos, a conjectura de Andrica pode ser reescrita como

 

Evidências empíricasEditar

Imran Ghory usou os dados sobre as maiores diferenças entre dois primos consecutivos para confirmar a veracidade da conjectura para   maior que 1,3002 × 1016.[2] Usando tabelas maiores, a confirmação dos valores foi estendida exaustivamente para 4 × 1018.


A função discreta  e seus gráficos são mostrados ao lado. Os maiores valores de   ocorrem para n = 1, 2, and 4, com A4 ≈ 0.670873..., sem valores maiores para os próximos 105 primeiros primos. Como a função de Andrica decresce assintoticamente conforme n aumenta, , uma diferença entre primos precisa fazer o valor da diferença ser maior conforme n se torna maior. Isso indica fortemente que a conjectura é verdadeira, ainda que ainda não tenha sido provada nem refutada.

GeneralizaçõesEditar

Uma generalização da conjectura de Andrica pode ser feita levando em conta a seguinte equação:

 

onde   é on-ésimo número primo e x pode ser qualque número positivo.

A maior solução para o possível valor de x é fácil de ocorrer para  , quando xmax = 1. Se conjectura que a menor solução x é xmin ≈ 0.567148... (sequência A038458 na OEIS) que ocorre para  n = 30.

Essa conjectura também pode ser apresentada como uma desigualdade, a conjectura de Andrica generalizada:

  for  

StatusEditar

A conjectura ainda não foi provada nem refutada, apesar de haver fortes indícios de que esta seja verdadeira.[3]


Ver tambémEditar

Referências

  1. Conjectura de Andrica
  2. Prime Numbers: The Most Mysterious Figures in Math, John Wiley & Sons, Inc., 2005, p. 13.
  3. [1]