Universo de von Neumann

Na matemática, particularmente na teoria de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, o universo de von Neumann, hierarquia de von Neumann dos conjuntos, ou hierarquia cumulativa, abreviado V, é uma classe definida por recursão transfinita: a classe dos conjuntos hereditariamente bem fundados. V é o modelo mais aceito da teoria de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, pelo qual pode ser entendido intuitivamente como a classe de todos os conjuntos.

Definição de V

V é definida por recursão transfinita.

• O primeiro nível é o conjunto vazio:

$V_{0}:=\emptyset \!$.

• Para um ordinal α, sendo ${\mathcal {P}}(x)$ o conjunto das partes de $x$:

$V_{\alpha +1}:={\mathcal {P}}(V_{\alpha })\!$

• Para um ordinal limite β:

$V_{\beta }:=\bigcup _{\alpha <\beta }V_{\alpha }\!$.

É importante ressaltar que existe uma fórmula $\phi (x,\alpha )$ da linguagem da teoria de conjuntos de Zermelo-Fraenkel que representa "$x\in V_{\alpha }$".

Uma definição alternativa às três últimas, está dada pela fórmula:

• Para β um ordinal:

$V_{\beta }:=\bigcup _{\alpha <\beta }{\mathcal {P}}\left(V_{\alpha }\right)\!$.

• Finalmente, sendo V a união de todos os V_α:

$\mathbf {\mathsf {V}} :=\bigcup _{\alpha \in \mathbf {O} n}V_{\alpha }\!$.

O uso do símbolo de união na última linha constitui um abuso da linguagem, de modo que $x\in \mathbf {\mathsf {V}}$ deve ser interpretado como "existe um ordinal $\alpha$ tal que $x\in V_{\alpha }$".

Note-se que para cada ordinal α, V_α é um conjunto; porém V não é um conjunto.

A denominação hierarquia cumulativa é usada pois V está definida sobre os ordinais, de modo que:

${\mbox{Se }}\alpha <\beta {\mbox{ então }}V_{\alpha }\in V_{\beta }{\mbox{ e }}V_{\alpha }\subseteq V_{\beta }\!$

V e Zermelo-Fraenkel

Na presença dos demais axiomas de ZF, o enunciado $\forall x\left(x\in \mathbf {\mathsf {V}} \right)$ é equivalente ao Axioma da Fundação. Dessa maneira, conjuntos mal fundados, como $x=\left\{x\right\}$. não pertencem a V e sua não existência pode ser provada em ZF. Além disso, todos os elementos de V são conjuntos, de modo que os denominados átomos, elementos primitivos ou Urelemente (elementos que não são conjuntos) não pertencem a V.
Se omitirmos o Axioma da Fundação de ZF, denominada ZF⁻, então V é um modelo interno. Como para a construção de V não é necessário o Axioma da Fundação, dessa maneira é demonstrada a consistência relativa do Axioma da Fundação com relação aos demais axiomas de ZF, se eles são consistentes. Ainda podemos acrescentar a ZF⁻ axiomas contraditórios com o Axioma da Fundação, p.ex. o Axioma de anti-fundação de Aczel, mas então V não é mais um modelo dessa teoria.

Sendo $\omega$ o conjunto dos números naturais e primeiro ordinal transfinito, $V_{\omega }$ é a classe dos conjuntos hereditariamente finitos. $V_{\omega }$ é um modelo de ZF menos o Axioma do infinito. Em $V_{\omega }$ temos todos os números naturais, mas não $\omega$. Os conjuntos em $V_{\omega +\omega }$ são suficientes para fazer a maior parte da teoria de números, análise matemática, etc., ou seja a "matemática habitual". $V_{\omega +\omega }$ é um modelo da Teoria de conjuntos de Zermelo, denominada Z mas como a definição de $V_{\omega +\omega }$ precisa do Axioma da substituição, esse método não pode ser usado para definir um modelo interno de Z. Se $\kappa$ é um cardinal inacessível, então $V_{\kappa }$ é um modelo de ZF e, portanto, a existência de cardinais inacessíveis não pode ser provada em ZF, se ZF é consistente.

Ver também

O universo construível de Gödel

O Axioma da Fundação