Corpo ordenado não arquimediano

Em matemática, um corpo ordenado é não-arquimediano quando existem elementos infinitesimais. Um elemento ε é infinitesimal quando satisfaz:

-1 < ε < 1
-1/2 < ε < 1/2
-1/3 < ε < 1/3
etc.[1][Nota 1]

Um exemplo de um corpo ordenado não-arquimediano pode ser construído a partir do corpo das funções racionais[Nota 2]: basta definir o polinômio f(x) = x como sendo infinitamente grande, ou seja, 1 < x, 2 < x, 3 < x, etc; com isto temos que seu inverso, a função racional g(x) = 1/x é um infinitésimo, com 0 < 1/x < 1/2, 0 < 1/x < 1/3, 0 < 1/x < 1/4, etc.[2]

Nenhum corpo ordenado ordem-completo [Nota 3] pode ser não-arquimediano,[carece de fontes?] este é um corolário de um teorema, que diz que todo corpo ordenado ordem-completo é arquimediano.[3]

Por outro lado, um corpo ordenado não arquimediano pode ser Cauchy completo, ou seja, toda sequência de Cauchy converge. Como exemplo, temos o corpo de Levi-Civita. Este corpo R é definido como o corpo das séries formais de potências, em que os expoentes são números racionais, e os expoentes tem a propriedade do suporte finito à esquerda. Este corpo contém, como subconjuntos, o corpo dos números reais, o anel das séries formais de potências, o corpo das séries formais de Laurent, e o corpo das séries de Puiseux com potências ascendentes. R pode ser visto como um subconjunto das funções de em Pode-se definir uma relação de ordem total em R, além desta relação, pode-se também definir quando um elemento x é infinitamente maior que y, representado por x >> y; por estas relações, o elemento d de R, que corresponde à função em que d[1] = 1 e d[q] = 0 para todos outros valores racionais q, satisfaz à propriedade que dq << 1 para todo q > 0 e dq >> 1 para todo q < 0. Todo elemento x de R pode ser escrito como a série de potências da forma , em que para todo j, e esta série é convergente pela topologia induzida pela ordem. O corpo de Levi-Civita é um corpo ordenado não arquimediano, é Cauchy completo na topologia da ordem, e é um corpo real fechado. Ele é a menor [Nota 4] extensão dos reais que é um corpo ordenado não arquimediano, Cauchy completo e real fechado.[4]

Notas e referências

Notas

  1. Existem bons motivos para escrever a definição como uma lista infinita de axiomas, em vez de dizer simplesmente que ε está entre -1/n e 1/n para todo número natural n. O motivo está relacionado à Teoria dos Modelos.
  2. O texto de Enderton deixa implícito que são funções racionais sobre  
  3. Existem duas definições do que seja um corpo completo, para mais detalhes ver completude.
  4. A menos de isomorfismo.

Referências

  1. Eric Schechter, What are the real numbers, really? [em linha]
  2. H. B. Enderton, Field of Rational Functions [em linha]
  3. Jonathan L. F. King, There is one order-complete ordered-field [https://web.archive.org/web/20131101090947/http://www.math.ufl.edu/~squash/PrCa/ordered-field.pdf Arquivado em 1 de novembro de 2013, no Wayback Machine. [em linha]]
  4. Khodr Shamseddine, Advances in p-adic and Non-archimedian Analysis (2010), p.218-220 [google books visualização parcial]