Densidade (topologia)

Em topologia um subconjunto de um espaço topológico é dito denso se para cada ponto $x$ desse espaço for possível encontrar um ponto $d$ do subconjunto denso tão próximo quanto se queira de $x$.

Definicão e equivalências

Seja $X$ um espaço topológico; dizemos que $D\subseteq X$ é denso no espaço $X$ se para cada aberto $V\subseteq X$ a intersecção $V\cap D$ for não-vazia. Verifica-se, facilmente, que as seguintes afirmações são equivalentes

1. $D$ é denso;
2. ${\overline {D}}=X$;
3. Para cada elemento $U$ de uma base ${\mathcal {B}}$ de $X$, se verifica $U\cap D\neq \emptyset$;
4. Para cada $x\in X$, cada base local ${\mathcal {B}}(x)$ e cada $U\in {\mathcal {B}}(x)$, se verifica $U\cap D\neq \emptyset$.

A cada espaço topológico $X$ pode ser associado um cardinal $\operatorname {d} (X)$, chamado de densidade do espaço $X$ dado por

$\operatorname {d} (X)=\min\{|D|:D{\text{ é denso em }}X\}$.

Dizemos que um espaço $X$ é separável se possuir um denso enumerável, i.e. $\operatorname {d} (X)\leq \omega$.

O leitor é convidado a verificar que $\operatorname {d} (X)\leq \operatorname {w} (X)$, onde $\operatorname {w} (X)$ é o peso do espaço $X$ (i.e. a menor cardinalidade que uma base do espaço $X$ pode admitir).

Propriedades básicas

• Sejam $X,Y$ espaços topológicos, sendo $Y$ Hausdorff. Quaisquer funções contínuas $f,g:X\to Y$ que coincidem em um denso de $X$ são iguais;

• Imagens de denso por sobrejeções contínuas são conjuntos densos;

Exemplos

• O conjunto dos racionais $\mathbb {Q}$ é denso em $\mathbb {R}$ com a topologia usual; mais ainda, $\mathbb {Q}$ é denso na reta de Sorgenfray. Isso faz com que ambos espaços sejam separáveis. É notável observar que, embora separável, a reta de Sorgenfray não é segundo-contável, testemunhando, portanto, que a desigualdade $\operatorname {d} (X)\leq \operatorname {w} (X)$ não pode ser reposta por uma igualdade.
• O espaço produto $\mathbb {R} ^{\mathbb {R} }$ é separável.
• Para cada espaço de medida $\langle X,{\mathcal {M}},\mu \rangle$ e para cada $p\in \omega$, $p\geq 1$ o espaço $L^{p}(X,{\mathcal {M}},\mu )$ é separável. Em particular, os espaços $l^{p}=L^{p}(\omega ,\wp (\omega ),|\cdot |)$ é separável. Mas $L^{\infty }(X,{\mathcal {M}},\mu )$ não é separável.
• O espaço de Banach das funções de variação limitada não é separável.
• Separabilidade não é uma propriedade hereditária, i.e. subspaços de espaços separáveis em geral não são separáveis. De fato, topologizando $\mathbb {R}$ através do sistema de vizinhanças $\langle {\mathcal {V}}_{x}\rangle _{x\in \mathbb {R} }$, tal que ${\mathcal {V}}_{x}=\{A\subseteq \mathbb {R} :\exists \varepsilon >0(]x-\varepsilon ,x+\varepsilon [\cap \mathbb {Q} \subseteq A)\}$, se $x\in \mathbb {Q}$ e ${\mathcal {V}}_{x}=\{A\subseteq \mathbb {R} :\exists \varepsilon >0((]x-\varepsilon ,x+\varepsilon [\cap \mathbb {Q} )\cup \{x\}\subseteq A)\}$, se $x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$. Nesta topologia, $\mathbb {Q}$ é denso em $\mathbb {R}$, mas o conjunto dos irracionais não admite subconjunto denso enumerável.

Teorema de Hewitt-Marczeewski-Pondiczery

Sejam $\langle X_{s}\rangle _{s\in S}$ uma família de espaços topológicos e $\kappa \geq \omega$ um cardinal tal que $|S|\leq 2^{\kappa }$. Se, para cada $s\in S$, $\operatorname {d} (X)\leq \kappa$ então $\operatorname {d} \left(\prod _{s\in S}X_{s}\right)\leq \kappa$.

Em particular, o teorema acima afirma que o produto de ${\mathfrak {c}}$ espaços separáveis é um espaço separável.

Bibliografia

• Ryszard Engelking, General Topology, Heldermann Verlag, Sigma Series in Pure Mathematics, December 1989, ISBN 3885380064.