Espaço de Banach

Em matemática, um espaço de Banach, é um espaço vectorial normado completo. Deve seu nome ao matemático polaco Stefan Banach(1892-1945), o qual contribuiu para a teoria das séries ortogonais e inovações na teoria de medida e integração, sendo a sua contribuição mais importante na análise funcional.

Definições preliminaresEditar

Espaços métricosEditar

Sejam   um conjunto não-vazio e   uma métrica em  , dizemos que o par ( ,  ) é um espaço métrico.

Espaço vetorial normadoEditar

Seja   um espaço vectorial sobre um corpo e   uma norma de  . O par ( ,   ) é um espaço vetorial normado.

  • Um espaço normado ( ,  ) pode ser considerado um espaço métrico ( ,  ), basta definir a seguinte métrica
 , para todo  .

De fato, os axiomas da métrica são satisfeitos. Assim, para todo  , resulta:

 ; •Se   e  , então  ,  .

Para o caso de  , temos:  ;

 ;

 .

Assim, todo espaço normado ( ,  ) é um espaço métrico ( ,  ), com   sendo a métrica induzida pela norma  . De modo particular, todo espaço normado é um espaço topológico.

  • É possível mostrar também que se   é um espaço vetorial sobre os reais, munido de uma métrica  , essa métrica é induzida por uma norma se, e somente se, satisfaz:
    1.  
    2.  

Sequência de CauchyEditar

Uma sequência   em um espaço métrico   chama-se uma sequência de Cauchy quando, para todo   dado, existe   tal que   implica  .

Intuitivamente, à medida que o índice   cresce, os termos da sequência de Cauchy se tornam mais próximos.

Espaços métricos completosEditar

Um espaço métrico   é completo quando toda sequência de Cauchy em   é convergente em  .

  • Para mostrar que um espaço métrico   não é completo, basta mostrar que existe uma sequência de Cauchy em   que não seja convergente.
  • O espaço métrico   não é completo. Basta tomar uma sequência de números racionais   convergindo para um número irracional  . Por exemplo,   com  . Assim,   é uma sequência de Cauchy no espaço métrico  , mas não é convergente em  .

DefiniçãoEditar

Um espaço vectorial normado   é chamado Espaço de Banach quando for um espaço métrico completo, ou seja, se toda sequência de Cauchy em   é convergente em  .

Quando queremos mostrar que um espaço é normado, a principal dificuldade ocorre em se demonstrar a desigualdade triangular. Há algumas desigualdades que nos auxiliam bastante neste processo:

Desigualdade de YoungEditar

Dados   tais que   (dizemos que   são conjugados de Hölder)¨, vale a desigualdade:

 

Desigualdade de HölderEditar

Dados   conjugados de Hölder, vale a desigualdade:

 

Se definimos um produto coordenada a coordenada em   da forma  , podemos reescrever a desigualdade como:

 

Desigualdade de MinkowskiEditar

Dados  , vale a desigualdade:

 

PropriedadesEditar

  1. Se   é espaço vetorial normado, e   é subespaço vetorial, então   é um espaço vetorial normado, com norma herdada do espaço  .
  2. Se   é espaço de Banach e   é subespaço vetorial, então   é espaço de Banach se, e somente se,   é fechado em  .
  3. Para todo espaço vetorial normado  , é possível estender a norma de forma que o completamento de  , denotado  , seja espaço vetorial normado completo, ou seja,   é espaço de Banach.

ExemplosEditar

 

Toda função contínua é limitada num compacto, portanto a norma está bem definida. Os axiomas da norma são facilmente verificados. Ainda, convergência nesta norma é equivalente à convergência uniforme. Como convergência uniforme preserva continuidade, o espaço é completo.

  • Nos espaços euclidianos  , existem várias normas a se considerar que o tornam espaço de Banach:
    •  , sendo   a norma euclidiana usual.
    •  , definindo, para  , a norma  .

Os espaços  Editar

Vendo que os espaços   das n-uplas de números reais são espaços de Banach, queremos estender a definição de norma nesses espaços para o conjunto das sequências a fim de torná-las também em espaços de Banach.

Tomemos então  , e definamos o conjunto

 , munido das operações de soma e produto por escalar coordenada a coordenada.

Podemos verificar que esse espaço é de fato um espaço vetorial com essas operações, e definindo a norma

 

é possível verificar que   é um espaço de Banach.

O espaço   e seus subespaçosEditar

Tomando novamente o espaço das sequências de números reais, definindo

 

e tomando a norma  , temos que   é espaço de Banach.

Definindo os subconjuntos de  

 ;

 ;

 .

Vemos que  , sendo cada um deles subespaço do espaço que o contém. Desses espaços,   e   são espaços de Banach, com a norma herdada de  .

O espaço vetorial normado   não é de Banach, pois não é completo. De fato, tome a sequência em  :

  •  
  •  
  •  
  •  
  •  .

Verificamos que   é convergente a  , mas  .

Espaço da transformações lineares entre espaços normadosEditar

Dados espaços normados  , uma transformação   é:

  • linear, se  
  • contínua em  , se  .
  • contínua, se   for contínua em todo  .
  • limitada, se  

É possível mostrar que são equivalentes:

  1.   é contínua.
  2.   é contínua no  .
  3.   é limitada.
  4.   leva conjuntos limitados em conjuntos limitados.

Definindo o conjunto   e a norma  , onde  ,   é um espaço de Banach, contanto que   seja de Banach.

Ver tambémEditar

ReferênciasEditar

  • Lima, Elon Lages (2017). Espaços métricos. Col: Coleção Projeto Euclides 5ª ed., 3ª impressão. [S.l.]: IMPA. 336 páginas
  Este artigo sobre matemática é um esboço. Você pode ajudar a Wikipédia expandindo-o.
  Este artigo sobre matemática é um esboço. Você pode ajudar a Wikipédia expandindo-o.

Predefinição:Controlole de autoridade