Espaço de Banach

Em matemática, um espaço de Banach, é um espaço vectorial normado completo. Deve seu nome ao matemático polaco Stefan Banach(1892-1945), o qual contribuiu para a teoria das séries ortogonais e inovações na teoria de medida e integração, sendo a sua contribuição mais importante na análise funcional.

Definições Preliminares

Espaços Métricos

Sejam $M$ um conjunto não-vazio e $d$ uma métrica em $M$, dizemos que o par ($M$, $d$) é um Espaço Métrico.

Espaço Vetorial Normado

Sejam $E$ um espaço vectorial sobre um corpo e $\|.\|$ uma norma de $E$, dizemos que o par ($E$, $\|.\|$ ) é um espaço vetorial normado.

• Um espaço normado ($E$, $\|.\|$) pode ser considerado um espaço métrico ($E$, $d$), basta definirmos a seguinte métrica

$d(x,y)=\|x-y\|$, para todo $\ x,\ y\in E$.

De fato, note que os axiomas da métrica são satisfeitos. Assim, para todo $\ x,\ y,\ z\in E$, temos:

• $d(x,x)=\|x-x\|=\|0\|=0$;

• Se $x\neq y$ e $x>y$, então $\|x-y\|=x-y>0$, $d(x,y)>0$.

Para o caso de $x<y$, temos: $\|x-y\|=-(x-y)=y-x>0$;

• $d(x,y)=\|x-y\|=\|(-1)(y-x)\|=|-1|.\|y-x\|=|1|.\|y-x\|=\|y-x\|=d(y,x)$;

• $d(x,z)=\|x-z\|=\|x+(-y+y)-z\|=\|(x-y)+(y-z)\|\leq \|x-y\|+\|y-z\|$.

Assim, todo espaço normado ($E$, $\|.\|$) é um espaço métrico ($E$, $d$), com $d$ sendo a métrica induzida pela norma $\|.\|$. De modo particular, todo espaço normado é um espaço topológico.

Sequência de Cauchy

Uma sequência $(x_{n})$ em um espaço métrico $M$ chama-se uma sequência de Cauchy quando, para todo $\epsilon >0$ dado, existe $n_{0}\in \mathbb {N}$ tal que $m,n>n_{0}$ implica $d(x_{m},x_{n})<\epsilon$.

Intuitivamente, à medida que o índice $n$ cresce, os termos da sequência de Cauchy se tornam mais próximos.

• Toda sequência convergente é de Cauchy.

• Toda sequência de Cauchy é limitada.

Espaços Métricos Completos

Dizemos que um espaço métrico $M$ é completo quando toda sequência de Cauchy em $M$ é convergente em $M$.

• Para mostrar que um espaço métrico $M$ não é completo, basta mostrar que existe uma sequência de Cauchy em $M$ que não seja convergente.

• O espaço métrico $\mathbb {Q}$ não é completo. Basta tomar uma sequência de números racionais $(x_{n})$ convergindo para um número irracional $a$. Por exemplo, $x_{1}=1;x_{2}=1,4;x_{3}=1,41;x_{4}=1,414...,$ com $\lim x_{n}={\sqrt {2}}$. Assim, $(x_{n})$ é uma sequência de Cauchy no espaço métrico $\mathbb {Q}$, mas não é convergente em $\mathbb {Q}$.

Definição

Um espaço vectorial normado $E$ é chamado Espaço de Banach quando for um espaço métrico completo, ou seja, se toda sequência de Cauchy em $E$ é convergente em $E$.

Exemplos

• Os números reais e os números complexos são espaços de Banach onde a norma é o próprio valor absoluto.
• Qualquer espaço de Hilbert é um espaço de Banach.
• O espaço das funções contínuas reais definidas no intervalo $[0,1]\,$ é um espaço de Banach com a norma do supremo:

$\|f\|=\sup _{x\in [0,1]}|f(x)|\,.$

Toda função contínua é limitada num compacto, portanto a norma está bem definida. Os axiomas da norma são facilmente verificados. Ainda, convergência nesta norma é equivalente à convergência uniforme. Como convergência uniforme preserva continuidade, o espaço é completo.

Ver também

• Álgebra de Banach - quando o espaço é uma álgebra sobre um corpo, com propriedades consistentes entre o produto de vetores e a norma.

Referências

• Lima, Elon Lages (2017). Espaços métricos. Col: Coleção Projeto Euclides 5ª ed., 3ª impressão. [S.l.]: IMPA. 336 páginas