Espaço de Banach
Em matemática, um espaço de Banach, é um espaço vectorial normado completo. Deve seu nome ao matemático polaco Stefan Banach(1892-1945), o qual contribuiu para a teoria das séries ortogonais e inovações na teoria de medida e integração, sendo a sua contribuição mais importante na análise funcional.
Definições PreliminaresEditar
Espaços MétricosEditar
Sejam um conjunto não-vazio e uma métrica em , dizemos que o par ( , ) é um Espaço Métrico.
Espaço Vetorial NormadoEditar
Sejam um espaço vectorial sobre um corpo e uma norma de , dizemos que o par ( , ) é um espaço vetorial normado.
- Um espaço normado ( , ) pode ser considerado um espaço métrico ( , ), basta definirmos a seguinte métrica
- , para todo .
De fato, note que os axiomas da métrica são satisfeitos. Assim, para todo , temos:
• ;
• Se e , então , .
Para o caso de , temos: ;
• ;
• .
Assim, todo espaço normado ( , ) é um espaço métrico ( , ), com sendo a métrica induzida pela norma . De modo particular, todo espaço normado é um espaço topológico.
Sequência de CauchyEditar
Uma sequência em um espaço métrico chama-se uma sequência de Cauchy quando, para todo dado, existe tal que implica .
Intuitivamente, à medida que o índice cresce, os termos da sequência de Cauchy se tornam mais próximos.
- Toda sequência convergente é de Cauchy.
- Toda sequência de Cauchy é limitada.
Espaços Métricos CompletosEditar
Dizemos que um espaço métrico é completo quando toda sequência de Cauchy em é convergente em .
- Para mostrar que um espaço métrico não é completo, basta mostrar que existe uma sequência de Cauchy em que não seja convergente.
- O espaço métrico não é completo. Basta tomar uma sequência de números racionais convergindo para um número irracional . Por exemplo, com . Assim, é uma sequência de Cauchy no espaço métrico , mas não é convergente em .
DefiniçãoEditar
Um espaço vectorial normado é chamado Espaço de Banach quando for um espaço métrico completo, ou seja, se toda sequência de Cauchy em é convergente em .
ExemplosEditar
- Os números reais e os números complexos são espaços de Banach onde a norma é o próprio valor absoluto.
- Qualquer espaço de Hilbert é um espaço de Banach.
- O espaço das funções contínuas reais definidas no intervalo é um espaço de Banach com a norma do supremo:
Toda função contínua é limitada num compacto, portanto a norma está bem definida. Os axiomas da norma são facilmente verificados. Ainda, convergência nesta norma é equivalente à convergência uniforme. Como convergência uniforme preserva continuidade, o espaço é completo.
Ver tambémEditar
- Álgebra de Banach - quando o espaço é uma álgebra sobre um corpo, com propriedades consistentes entre o produto de vetores e a norma.
ReferênciasEditar
- Lima, Elon Lages (2017). Espaços métricos. Col: Coleção Projeto Euclides 5ª ed., 3ª impressão. [S.l.]: IMPA. 336 páginas