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Em matemática, um espaço de Banach, é um espaço vectorial normado completo. Deve seu nome ao matemático polaco Stefan Banach(1892-1945), o qual contribuiu para a teoria das séries ortogonais e inovações na teoria de medida e integração, sendo a sua contribuição mais importante na análise funcional.


Definições PreliminaresEditar

Espaços MétricosEditar

Sejam   um conjunto não-vazio e   uma métrica em  , dizemos que o par ( ,  ) é um Espaço Métrico.

Espaço Vetorial NormadoEditar

Sejam   um espaço vectorial sobre um corpo e   uma norma de  , dizemos que o par ( ,   ) é um espaço vetorial normado.

  • Um espaço normado ( ,  ) pode ser considerado um espaço métrico ( ,  ), basta definirmos a seguinte métrica
 , para todo  .

De fato, note que os axiomas da métrica são satisfeitos. Assim, para todo  , temos:

 ;

• Se   e  , então  ,  .

Para o caso de  , temos:  ;

 ;

 .

Assim, todo espaço normado ( ,  ) é um espaço métrico ( ,  ), com   sendo a métrica induzida pela norma  . De modo particular, todo espaço normado é um espaço topológico.

Sequência de CauchyEditar

Uma sequência   em um espaço métrico   chama-se uma sequência de Cauchy quando, para todo   dado, existe   tal que   implica  .

Intuitivamente, à medida que o índice   cresce, os termos da sequência de Cauchy se tornam mais próximos.

Espaços Métricos CompletosEditar

Dizemos que um espaço métrico   é completo quando toda sequência de Cauchy em   é convergente em  .

  • Para mostrar que um espaço métrico   não é completo, basta mostrar que existe uma sequência de Cauchy em   que não seja convergente.
  • O espaço métrico   não é completo. Basta tomar uma sequência de números racionais   convergindo para um número irracional  . Por exemplo,   com  . Assim,   é uma sequência de Cauchy no espaço métrico  , mas não é convergente em  .

DefiniçãoEditar

Um espaço vectorial normado   é chamado Espaço de Banach quando for um espaço métrico completo, ou seja, se toda sequência de Cauchy em   é convergente em  .

ExemplosEditar

 

Toda função contínua é limitada num compacto, portanto a norma está bem definida. Os axiomas da norma são facilmente verificados. Ainda, convergência nesta norma é equivalente à convergência uniforme. Como convergência uniforme preserva continuidade, o espaço é completo.

Ver tambémEditar

ReferênciasEditar

  • Lima, Elon Lages (2017). Espaços métricos. Col: Coleção Projeto Euclides 5ª ed., 3ª impressão. [S.l.]: IMPA. 336 páginas
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