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Em teoria dos anéis, um domínio de integridade é de fatoração única (de onde é chamado de DFU, significando domínio de fatoração única) ou fatorial se:

  1. , se (onde é o conjunto das unidades de ) e temos que irredutíveis tal que .
  2. Seja e com irredutíveis e e bijeção, tal que é associado a .

ExemplosEditar

  • O anel dos números inteiros é um domínio fatorial. Usando o teorema fundamental da aritmética e sabendo que as unidades dos inteiros são 1 e -1 e que     é associado a   temos:
  1.  , se   e   temos que   irredutíveis   tal que  .
  2. Seja   e   com   irredutíveis   e    e   bijeção, tal que   é associado a   (isto é, como   é primo então   ou  ).
  • Todo corpo é, trivialmente, um domínio fatorial. Este exemplo não parece muito interessante, mas ganha importância como caso particular do próximo exemplo
  • Se D é um domínio fatorial, então o anel de polinômios com coeficientes em D, D[x], também é um domínio fatorial

Unidades e D*Editar

 Ver artigo principal: Unidade (teoria dos anéis)

Seja   um anel comutativo,   é unidade, então   tal que  . O elemento   é chamado de elemento inverso de  .

  é o conjunto de todas as unidades de  . Logo   é unidade, então  .

  • Seja   a identidade. Como  , então   é unidade, e é seu próprio elemento inverso.
  • Seja   um corpo.  ,   é unidade. Logo  .
  • Seja  .
  1. 1, -1 são unidades.
  2. Como   e  . Então  tal que  ,   não é unidade.
  3.  .

Divisão para anéis e elementos associadosEditar

Sejam   um anel comutativo e  ,   (i. é   divide  ) se  , tal que  . E ainda,   são associados se   e  .

  • Seja   um dominio:
  1. Seja   associados.   tal que   e  . Logo  .Faça  . Então  . Logo   é unidade. Assim   unidade tal que  .
  2. Seja   tal que   unidade com  . Logo  . Ainda mais,   é unidade, logo   tal que  .Assim  . E por fim  . Logo   e  , logo   são associados.
  3. Portanto em um domínio,   são associados se e somente se   unidade tal que  .
  • Em um corpo  ,  , x e y são associados.
  • Nos inteiros  ,   é seu associado.

Elementos IrredutíveisEditar

 Ver artigo principal: Elemento irredutível

Seja   um anel comutativo. Um elemento   é irredutivel se  , se   e se   com   então   ou   é unidade.

Uma definição semelhante a de elemento irredutível é a de elemento primo ja que   é primo se  ,   e se   com   então   ou  .

  • Seja   um domínio e   primo. Seja  . Sem perda de generalidade, seja   tal que  . Como  , então   é unidade. Logo p é irredutivel.
  • Seja  .   é um domínio,   são irredutíveis, mas não são primos já que  .

ReferênciasEditar

  • Arnaldo Garcia e Yves Lequain. Álgebra: um curso de introdução. Rio de Janeiro, Instituto de Matemática Pura e Aplicada, 1988. 213 páginas (Projeto Euclides)
  • Richard A. Dean. Elementos de Álgebra Abstrata; tradução de Carlos Alberto A. de Carvalho. Rio de Janeiro, Livros Técnicos e Científicos, 1974. 332 páginas. (com texto, problemas e exercícios)

Ligações externasEditar

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