Abrir menu principal

Teorema fundamental da aritmética

O Teorema Fundamental da Aritmética sustenta que todos os números inteiros positivos maiores que 1[1] podem ser decompostos num produto de números primos, sendo esta decomposição única a menos de permutações dos fatores.

As proposições do Livro XII de Os Elementos de Euclides praticamente demonstraram este teorema que também foi exposto no Livro IX. O teorema só foi demonstrado e proposto por Carl Friedrich Gauss em 1796.

Índice

Livro VII de Os Elementos de EuclidesEditar

O Livro VII, com 39 proposições, é totalmente aritmético e estuda as propriedades dos números naturais e suas relações. Ele apresenta três proposições que motivaram o Teorema Fundamental da Aritmética:

Proposição VII-30:Editar

"Caso dois números, sendo multiplicados entre si, façam algum, e algum número primo meça o produzido deles, medirá também um dos do princípio."

Demonstração de "Os Elementos"Editar

"Façam, pois, dos dois números A, B, sendo multiplicados entre si, o C, e algum número primo, o D, meça o C; diga que o D mede um dos A, B. Não meça, pois, o A; e o D é primo, portanto, os A, D são primos entre si. E tantas vezes o D mede o C, quantas unidades no E, portanto o D, tendo multiplicado o E, fez o C. Mas, certamente, também o A, tendo multiplicado o B, fez o C; portanto, os dois D, E é igual aos dois A, B. Portanto, como D está para A, assim o B para o E. E os D, A são primos, e os primos são também os menores, e os menores medem os que têm as a mesma razão, o mesmo número de vezes, tanto o maior, o maior quanto o menos, o menos, isto é, tanto o antecedente, o antecedente quanto o consequente, o consequente; portanto, o D mede o B. Do mesmo modo, então, provaremos que também, caso não meça o B, medirá o A. Portanto, o D mede um dos A, B; o que era preciso prova."

Proposição VII-31Editar

"Todo número composto é medido por algum número primo."

Demonstração de "Os Elementos"Editar

"Seja o número composto A; digo que o A é medido por algum número primo. Pois, como o A é composto, algum número o medirá. Meça, e seja o B. E se, por um lado, o B é primo, o prescrito aconteceria. Se, por outro lado, é composto, algum número o medirá. Meça, e seja o C. E como o C mede o B, e o B mede o A, portanto também o C mede o A. E se, por um lado, o C é primo, o prescrito aconteceria. Se, por outro lado é composto, outro número o medirá. Sendo então produzida uma investigação como essa, algum número primo será tomado, que medirá. Pois, se não for tomado, ilimitados números medirão o A, cada um dos quais é menor do que o outro; o que é impossível nos números. Portanto, algum número primo será tomado, que medirá o antes dele mesmo, que também medirá o A. Portanto, todo número composto é medido por algum número primo o que era preciso prova."

Proposição VII-32Editar

"Todo número ou é primo ou é medido por algum primo."

Demonstração de "Os Elementos"Editar

"Seja o número A; digo que o A ou é primo ou é medido por algum número primo. Se, por um lado, o A é primo, o prescrito aconteceria. Se, por outro lado, é composto, algum número primo o medirá. Portanto, todo número ou é primo ou é medido por algum número primo; o que era preciso prova."

Demonstração do Teorema Fundamental da AritméticaEditar

TeoremaEditar

Seja   um inteiro positivo. Então, existem primos positivos   tais que   e essa decomposição é única.

Demonstração:

Existência de uma decomposição

Será usado para esta demonstração o Princípio de indução completa.

Para   existe uma decomposição trivial em números primos, já que 2 é, ele próprio, um número primo. Suponhamos agora que existe uma decomposição para todo inteiro   Mostraremos que também vale para  

Se   é primo, admite a decomposição trivial. Caso contrário,   admite um divisor positivo   tal que   Isto é,   e temos também   Pela hipótese de indução,   e   podem ser escritos como produtos de primos, na forma    

Substituindo, temos   e o resultado também vale para  

Unicidade da decomposição

Dado um inteiro   ele poderia admitir, em princípio, mais de uma decomposição em produto de fatores primos. Será chamado comprimento de uma decomposição ao número de fatores que nela comparecem.

A demonstração será feita por indução no comprimento de uma decomposição de  

Suponhamos que   admita uma decomposição do tipo   onde   é primo, e que vale

 

em que   são primos positivos. Como   divide     também divide   que é primo. Então, devemos ter   Cancelando, vem   Se   teríamos que o primo   seria invertível, uma contradição. Assim,   e, como já provamos que   o primeiro passo de indução está verificado.

Suponhamos agora o resultado verdadeiro para todo inteiro que admita uma decomposição de comprimento   e seja   um inteiro com uma decomposição de comprimento   Se   admitisse outra decomposição, temos

 

em que   são primos positivos.

Como na primeira parte,   divide   e temos que   divide   para algum   (Lema de Euclides). Como   é primo, devemos ter novamente que   Em particular,  

De forma análoga, pode-se obter que   para algum j. Logo,   De ambas as desigualdades, vem que   Finalmente, cancelando em   temos que

 

Agora, o primeiro membro da igualdade tem uma decomposição de comprimento   logo, da hipótese de indução, admite uma única decomposição. Assim, temos   donde   e   para   Como já provamos que   ambas as expressões de   coincidem.

Agrupando os primos eventualmente repetidos na decomposição de   podemos enunciar o teorema anterior de forma levemente diferente. Também podemos estendê-lo a números negativos.

Teorema Fundamental da AritméticaEditar

Seja   um inteiro diferente de 0, 1 e -1. Então, existem primos positivos   e inteiros positivos   tais que   Além disso, essa decomposição é única.

Demonstração:

Temos que   conforme   seja positivo ou negativo. Como   é positivo, do teorema anterior, temos que existem primos   tais que

 

Agrupando os primos eventualmente repetidos, podemos escrever

 

A unicidade segue diretamente do teorema anterior.

Está, portanto, demonstrado o Teorema Fundamental da Aritmética.

Ver tambémEditar

NotasEditar

  1. Utilizando produto vazios não é preciso excluir o número 1, e o teorema pode ser expresso como: todo inteiro positivo tem uma única fatoração como produto de primos.

ReferênciasEditar

  • Milies, Francisco César Polcino. Números: Uma Introdução à Matemática. 3 ed. São Paulo: Editora da USP, 2003.
  • Garbi, Gilberto Geraldo. A Rainha das Ciências: Um passeio histórico pela maravilhoso mundo da matemática. 3 ed. rev e ampl. São Paulo: Editora Livraria da Física, 2009.
  • Euclides. Os Elementos. 1 ed. São Paulo: Editora Unesp,2009.