Epicicloide

A epicicloide é uma curva cíclica definida por um ponto de uma circunferência que rola sem deslizar sobre um círculo diretor[1]. A epicicloide é um caso especial da epitrocoide. Uma epicicloide com um único ponto tangendo a circunferência é uma cardioide.

A curva em vermelho é uma epicicloide quando o círculo menor (raio r = 1) rola em volta do exterior do círculo maior (raio R = 3).

HistóriaEditar

O matemático grego Hiparco (190 aC - 120 aC) foi o primeiro a desenvolver as ideias de epicicloide em sua teoria astronômica dos epiciclos, onde desenvolveu um modelo para o movimento lunar. Em seguida, Ptolemeu, famoso astrônomo e geógrafo grego, usou combinações de epicicloides para estimar as posições do Sol, da Lua e dos planetas. Essa ideia só foi substituída pela teoria de Nicolau Copérnico (1473 - 1543) de que o Sol, e não a Terra, era o centro do universo.

A construção em si da epicicloide foi primeiramente descrita em 1525 por Albrecht Dürer (1471 - 1528), um artista alemão. Dürer publicou essa e muitas outras curvas em seu primeiro artigo matemático. Gerard Desargues (1591 - 1661), engenheiro francês, foi o primeiro a fazer uso da epicicloide nos sistemas de abastecimento de água na região de Paris. Outro uso prático da epicicloide é o da engrenagem mecânica, ainda que se debata de quem foi a ideia. Olaus Roemer (1644 - 1710), astrônomo dinamarquês, é tido como o autor da investigação do uso da epicicloide nos dentes das engrenagens apesar de haver uma discussão envolvendo o matemático francês Philippe de La Hire (1640 - 1719) cujo pai foi aluno de Desargues, que supostamente teria feito o mesmo vinte anos antes.

DemonstraçãoEditar

 
Esboço para a prova

Assumimos que a posição do ponto   é o que queremos solucionar,   é o ângulo em radiano a partir do ponto tangenciado até o ponto móvel  , e   é o ângulo em radiano a partir do ponto inicial até o ponto tangenciado.

Como não há deslizamento entre os dois círculos,

 

A partir da definição de radiano (tamanho do arco sobre o raio), temos que

 

A partir dessas duas condições, temos

 

Assim,

 

Observando a figura, vemos facilmente a posição do ponto  .

 
 

InvolutaEditar

 
Involuta da epicicloide

A involuta de uma epicicloide parametrizada da forma

 
 

é outra epicicloide dada por

 
 

representada pela cor azul na figura ao lado, com R = 3 e r = 1.

EvolutaEditar

 
Evoluta da epicicloide

A evoluta de uma epicicloide parametrizada da forma

 
 

é outra epicicloide dada por

 
 

representada pela cor verde na figura ao lado, com R = 5 e r = 1.

Epicicloide encurtadaEditar

Se o ponto da curva estiver dentro da circunferência, a curva descrita será uma epicicloide encurtada[2].

Epicicloide alongadaEditar

Se o ponto da curva estiver fora da circunferência, a curva descrita será uma epicicloide alongada.[2]

Galeria de epicicloidesEditar

Ver tambémEditar

Referências

  1. Carvalho, Benjamim - Desenho Geométrico. Ed. Ao Livro Técnico, São Paulo: 1982, cap. 13, p. 286
  2. a b [1] Movimentos com vínculos, página visitada em 20 de julho de 2011.

Ligações externasEditar