Escalar de Lorentz

Em uma teoria relativística da física, um escalar de Lorentz é uma expressão, formada a partir de itens da teoria, que resulta em um escalar, invariante sob qualquer transformação de Lorentz. Um escalar de Lorentz pode ser gerado a partir, por exemplo, do produto escalar de vetores ou da contração de tensores da teoria. Enquanto os componentes de vetores e tensores são, em geral, alterados sob transformações de Lorentz, os escalares de Lorentz permanecem inalterados.

Um escalar de Lorentz nem sempre é imediatamente visto como um escalar invariante no sentido matemático, mas o valor escalar resultante é invariante sob qualquer transformação de base aplicada ao espaço vetorial, no qual se baseia a teoria considerada. Um escalar de Lorentz simples no espaço-tempo de Minkowski é a distância no espaço-tempo ("comprimento" de sua diferença) de dois eventos fixos no espaço-tempo. Enquanto os quadrivetores de "posição" dos eventos mudam entre diferentes referenciais inerciais, sua distância no espaço-tempo permanece invariante sob a transformação de Lorentz correspondente. Outros exemplos de escalares de Lorentz são o "comprimento" de quadrivelocidades (veja abaixo), ou a curvatura de Ricci em um ponto no espaço-tempo da relatividade geral, que é uma contração do tensor de curvatura de Riemann ali.

Escalares simples na relatividade especial

O comprimento de um vetor de posição

Linhas mundiais para duas partículas em velocidades diferentes.

Na relatividade especial, a localização de uma partícula no espaço-tempo quadridimensional é dada por

$$x^{\mu }=(ct,\mathbf {x} )$$

onde $\mathbf {x} =\mathbf {v} t$ é a posição no espaço tridimensional da partícula, $\mathbf {v}$ é a velocidade no espaço tridimensional e $c$ é a velocidade da luz.

O "comprimento" do vetor é um escalar de Lorentz e é dado por

$$x_{\mu }x^{\mu }=\eta _{\mu \nu }x^{\mu }x^{\nu }=(ct)^{2}-\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ (c\tau )^{2}$$

onde $\tau$ é o tempo adequado medido por um relógio no referencial de repouso da partícula e a métrica de Minkowski é dada por

$$\eta ^{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}.$$

Esta é uma métrica semelhante ao tempo.

Frequentemente, a assinatura alternativa da métrica de Minkowski, na qual os sinais dos uns são invertidos, é usada.

$$\eta ^{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }={\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}.$$

Esta é uma métrica semelhante ao espaço.

Na métrica de Minkowski, o intervalo espacial $s$ é definido como

$$x_{\mu }x^{\mu }=\eta _{\mu \nu }x^{\mu }x^{\nu }=\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} -(ct)^{2}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ s^{2}.$$

Usamos a métrica de Minkowski semelhante ao espaço no restante deste artigo.

O comprimento de um vetor de velocidade

Os vetores de velocidade no espaço-tempo para uma partícula em duas velocidades diferentes. Na relatividade, uma aceleração é equivalente a uma rotação no espaço-tempo

A velocidade no espaço-tempo é definida como

$$v^{\mu }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {dx^{\mu } \over d\tau }=\left(c{dt \over d\tau },{dt \over d\tau }{d\mathbf {x} \over dt}\right)=\left(\gamma c,\gamma {\mathbf {v} }\right)=\gamma \left(c,{\mathbf {v} }\right)$$

onde

$$\gamma \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {1 \over {\sqrt {1-{{\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} } \over c^{2}}}}}.$$

A magnitude da quadrivelocidade é um escalar de Lorentz,

$$v_{\mu }v^{\mu }=-c^{2}\,.$$

Portanto, c é um escalar de Lorentz.

O produto interno da aceleração e da velocidade

A quadriaceleração é dada por

$$a^{\mu }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {dv^{\mu } \over d\tau }.$$

A quadriaceleração é sempre perpendicular à quadrivelocidade

$$0={1 \over 2}{d \over d\tau }\left(v_{\mu }v^{\mu }\right)={dv_{\mu } \over d\tau }v^{\mu }=a_{\mu }v^{\mu }.$$

Portanto, podemos considerar a aceleração no espaço-tempo simplesmente como uma rotação da quadrivelocidade. O produto interno da aceleração e da velocidade é um escalar de Lorentz e é zero. Esta rotação é simplesmente uma expressão de conservação de energia:

$${dE \over d\tau }=\mathbf {F} \cdot \mathbf {v}$$

onde $E$ é a energia de uma partícula e $\mathbf {F}$ é a triforça na partícula.

Energia, massa em repouso, trimomento e trivelocidade a partir do quadrimomento

O quadrimomento de uma partícula é

$$p^{\mu }=mv^{\mu }=\left(\gamma mc,\gamma m\mathbf {v} \right)=\left(\gamma mc,\mathbf {p} \right)=\left({\frac {E}{c}},\mathbf {p} \right)$$

onde $m$ é a massa de repouso da partícula, $\mathbf {p}$ é o momento no espaço tridimensional e

$$E=\gamma mc^{2}$$

é a energia da partícula.

Medição da energia de uma partícula

Considere uma segunda partícula com quadrivelocidade $u$ e uma trivelocidade $\mathbf {u} _{2}$. No referencial de repouso da segunda partícula, o produto interno de $u$ com $p$ é proporcional à energia da primeira partícula

$$p_{\mu }u^{\mu }=-E_{1}$$

onde o subscrito 1 indica a primeira partícula.

Como a relação é verdadeira no referencial de repouso da segunda partícula, ela é verdadeira em qualquer referencial. $E_{1}$, a energia da primeira partícula no referencial da segunda partícula, é um escalar de Lorentz. Portanto,

$$E_{1}=\gamma _{1}\gamma _{2}m_{1}c^{2}-\gamma _{2}\mathbf {p} _{1}\cdot \mathbf {u} _{2}$$

em qualquer referencial inercial, onde $E_{1}$ ainda é a energia da primeira partícula no referencial da segunda partícula.

Medição da massa de repouso da partícula

No referencial de repouso da partícula, o produto interno do momento é

$$p_{\mu }p^{\mu }=-(mc)^{2}\,.$$

Portanto, a massa de repouso (m) é um escalar de Lorentz. A relação permanece verdadeira independentemente do referencial no qual o produto interno é calculado. Em muitos casos, a massa de repouso é escrita como $m_{0}$ para evitar confusão com a massa relativística, que é $\gamma m_{0}$.

Medição do trimomento da partícula

Observe que

$$\left({\frac {p_{\mu }u^{\mu }}{c}}\right)^{2}+p_{\mu }p^{\mu }={E_{1}^{2} \over c^{2}}-(mc)^{2}=\left(\gamma _{1}^{2}-1\right)(mc)^{2}=\gamma _{1}^{2}{\mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {v} _{1}}m^{2}=\mathbf {p} _{1}\cdot \mathbf {p} _{1}.$$

O quadrado da magnitude do trimomento da partícula medido no referencial da segunda partícula é um escalar de Lorentz.

Medição da trivelocidade da partícula

A trivelocidade, no referencial da segunda partícula, pode ser construída a partir de dois escalares de Lorentz

$$v_{1}^{2}=\mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {v} _{1}={\frac {\mathbf {p} _{1}\cdot \mathbf {p} _{1}}{E_{1}^{2}}}c^{4}.$$

Escalares mais complicados

Os escalares também podem ser construídos a partir dos tensores e vetores, da contração de tensores (como $F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }$) ou combinações de contrações de tensores e vetores (como $g_{\mu \nu }x^{\mu }x^{\nu }$).

Bibliografia

• Misner, Charles; Thorne, Kip S.; Wheeler, John Archibald (1973). Gravitation (em inglês). San Francisco: W. H. Freeman. ISBN 0-7167-0344-0 
• Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. (1975). Classical theory of fields (em inglês) Quarta edição revisada ed. Oxford: Pergamon. ISBN 0-08-018176-7 

Ligações externas

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