Teorema de Noether: diferenças entre revisões
Conteúdo apagado Conteúdo adicionado
m Bot: Adicionando: nl:Theorema van Noether |
m traduzir |
||
Linha 10:
* a invariância de sistemas físicos no que diz respeito à [[translacção]] espacial implica, como resultado natural, a conservação da quantidade de movimento, ou [[momentum linear]].
<!-- traduzier
== Mathematische Formulierung ==
=== Wirkung ===
Der im Noether-Theorem formulierte Zusammenhang von Symmetrien und Erhaltungsgrößen gilt für solche physikalischen Systeme, deren Bewegungs- oder Feldgleichungen aus einem [[Variationsrechnung|Variationsprinzip]] abgeleitet werden können. Die [[Differentialgleichung]]en, denen solche Systeme genügen, besagen, dass die Variation eines ''Wirkungsfunktionals'' verschwindet.
Bei der Bewegung von Massepunkten ist dieses Wirkungsfunktional durch eine [[Lagrangefunktion]] der Zeit <math>t</math>, des Ortes <math>x</math> und der Geschwindigkeit <math>v</math>
: <math>\mathcal{L}(t,x,v)</math>
charakterisiert und ordnet jeder differenzierbaren Bahnkurve <math>\Gamma: t\mapsto x(t)</math> das Zeitintegral
:<math>
W[\Gamma]=\int_{t_1}^{t_2}\!\mathcal{L} \left( t,x(t),
\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} \right)\,\mathrm{d}t</math>
zu. Beispielsweise ist in Newtonscher Physik die Lagrangefunktion eines Teilchens im Potential <math>V</math> die Differenz von kinetischer und potentieller Energie
: <math>\mathcal{L}(t,x,v)=\frac{1}{2}\,m\,v^2- V(x)</math> .
Die physikalisch tatsächlich durchlaufene Bahn, die zur Anfangszeit <math>t_1</math> durch den Startpunkt <math>\underline{x}=x(t_1)</math> und zur Endzeit <math>t_2</math> durch das Ziel <math>\overline{x}=x(t_2)</math> geht, macht den Wert der Wirkung im Vergleich mit allen anderen (differenzierbaren) Bahnen, die ebenfalls anfänglich durch <math>\underline{x}</math> und schließlich durch <math>\overline{x}</math> gehen, stationär. Die physikalisch tatsächlich durchlaufene Bahn erfüllt daher die Bewegungsgleichung (Herleitung siehe [[Lagrange-Formalismus#Lagrangesche Methode zweiter Art|Lagrange-Formalismus]])
:<math>\frac{\partial}{\partial x}\mathcal{L} -
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\frac{\partial}{\partial v}\mathcal{L}
= 0</math> .
Bei Bewegung eines Teilchens im Potential ist dies die Newtonsche Bewegungsgleichung
:<math> 0 = -\frac{\partial}{\partial x}V - \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}
t}m v \ ,\quad 0 = F - m \ddot{x}\ .</math>
Differentialgleichungen, die sich derart aus einem Wirkungsfunktional durch Variation ableiten lassen, nennt man ''variationell selbstadjungiert''. Alle elementaren Feld- und Bewegungsgleichungen der Physik sind variationell selbstadjungiert.
=== Symmetrie ===
Man sagt, dass eine Differentialgleichung eine ''Symmetrie'' besitzt, wenn es eine Transformation des Raumes der Kurven gibt, die die Lösungen der Differentialgleichungen auf Lösungen abbildet. Für variationell selbstadjungierte Differentialgleichungen erhält man eine solche Transformation, wenn die Transformation das Wirkungsfunktional bis auf Randterme invariant lässt. Das Noether-Theorem besagt, dass die Invarianz des Wirkungsfunktionals gegenüber einer einparametrigen stetigen Transformationsgruppe die Existenz einer Erhaltungsgröße zur Folge hat und dass umgekehrt jede Erhaltungsgröße die Existenz einer (mindestens infinitesimalen) Symmetrie der Wirkung zur Folge hat.
Wir beschränken uns hier auf Symmetrien in der [[klassische Mechanik|klassischen Mechanik]]. Für den feldtheoretischen Beweis verweisen wir auf die englische Version des Artikels.
Sei <math> \Phi_s </math> eine einparametrige, differenzierbare Gruppe von Transformationen, die (genügend differenzierbare) Kurven <math>\Gamma: t \mapsto x(t)</math> auf Kurven <math>\Gamma_s:t\mapsto x(s,t,\Gamma) </math> abbildet und gehöre der Parameterwert <math>s=0</math> zur identischen Abbildung, <math>\Phi_0 \Gamma: t \mapsto x(t)</math>.
Beispielsweise bildet <math>\Phi_s \Gamma = \Gamma_s </math> mit <math>\Gamma_s:t\mapsto x(t+s)</math> jede Kurve <math>\Gamma</math> auf die um <math>s</math> früher durchlaufene Kurve ab. Die Transformation <math>\Phi_s \Gamma = \Gamma_s </math> mit <math>\Gamma_s:t\mapsto x(t) + s\,c</math> verschiebt jede Kurve um eine Konstante <math>s\,c</math>.
Die Transformationen <math> \Phi_s </math> heißen lokal, wenn sich die Ableitung bei der identischen Abbildung, die infinitesimale Transformation
:<math> \frac{\partial }{\partial s}_{|_{s=0}}x(s,t,\Gamma)\ ,</math>
für alle Kurven <math>\Gamma</math> als Funktion <math>\delta x(t,x,v)</math> der Zeit, des Ortes <math>x</math> und der Geschwindigkeit <math>v</math>, ausgewertet auf der Kurve <math>\Gamma</math>, schreiben lässt,
:<math> \delta x \left(t,x(t), \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} \right) =
\frac{\partial }{\partial s}_{|_{s=0}}x(s,t,\Gamma)\ .</math>
Beispielsweise sind die Verschiebungen von Zeit und Ort lokal und gehören zur infinitesimalen Transformation <math> \delta x = v </math> beziehungsweise zu <math> \delta x = c\,</math>.
Ist nun <math>\mathcal{L}(t,x,v)</math> die Lagrangefunktion des mechanischen Systems. Dann heißen die lokalen Transformationen <math>\Phi_s</math> Symmetrien der Wirkung, wenn sich für alle Kurven <math>\Gamma</math> die Lagrangefunktion bei infinitesimalen Transformationen nur um die Zeitableitung einer Funktion <math>K(t,x)</math>, ausgewertet auf <math>\Gamma</math>, ändert,
:<math> \frac{\partial}{\partial s}_{|_{s=0}}
\mathcal{L} \left(t, x(s,t), \frac{\partial x}{\partial
t}(s,t) \right) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}
K \left(t,x(t) \right)</math> .
Denn dann ändert sich die Wirkung nur um Randterme
:<math>
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}s}W[\Gamma_s]_{|_{s=0}}=
\int_{t_1}^{t_2}\!\mathrm{d}t\,
\frac{\partial}{\partial s}_{|_{s=0}}
\mathcal{L} \left(t, x(s,t), \frac{\partial x}{\partial
t}(s,t) \right)</math>
:<math>
= \int_{t_1}^{t_2}\!\mathrm{d}t\, \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}
K \left( t,x(t) \right)=
K \left( t_2,x(t_2) \right)-
K \left( t_1,x(t_1) \right)
</math> .
Der Zusammenhang dieser Definition der Symmetrie der Wirkung mit der Erhaltungsgröße wird klar, wenn man die partiellen Ableitungen der Lagrangefunktion nach <math>s</math> ausführt, und dabei als Kurzschrift die Definition der infinitesimalen Transformation verwendet
:<math> \frac{\partial}{\partial s}_{|_{s=0}} \mathcal{L}(t, x(s,t),
\frac{\partial x}{\partial t}(s,t)) =
\frac{\partial x(s,t)}{\partial s}_{|_{s=0}}
\frac{\partial}{\partial x}\mathcal{L}(t, x, v)+
\frac{\partial^2 x(s,t)}{\partial s \partial t }_{|_{s=0}}
\frac{\partial}{\partial v}\mathcal{L}(t, x, v)
</math>
:<math>
=\delta x \frac{\partial}{\partial x}\mathcal{L}(t, x, v)+
\frac{\mathrm{d}\delta x}{\mathrm{d}t}
\frac{\partial}{\partial v}\mathcal{L}(t, x, v) </math>
Ergänzt man den ersten Term zu einem Vielfachen der Bewegungsgleichung und zieht man die Ergänzung beim zweiten Term ab, entsteht
:<math> \frac{\partial}{\partial s}_{|_{s=0}} \mathcal{L} \left( t, x(s,t),
\frac{\partial x}{\partial t}(s,t) \right)
=\delta x \left(
\frac{\partial}{\partial x}\mathcal{L}-
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial}{\partial
v}\mathcal{L} \right) + \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}
\left( \delta x \frac{\partial}{\partial v}\mathcal{L}\right) </math>
und die Definitionsgleichung einer infinitesimalen Symmetrie einer Wirkung lautet
:<math>
\delta x \left(
\frac{\partial}{\partial x}\mathcal{L}-
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial}{\partial
v}\mathcal{L} \right) + \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}
\left( \delta x \frac{\partial}{\partial v}\mathcal{L} - K \right) = 0
</math> .
Da aber das <math> \delta x</math>-fache der Bewegungsgleichungen auf den physikalisch durchlaufenen Bahnen verschwindet, besagt diese Gleichung, dass die Funktion
:<math>Q= \delta x \frac{\partial}{\partial v}\mathcal{L} - K\ , </math>
die zur Symmetrie gehörige Noetherladung, sich auf den physikalisch durchlaufenen Bahnen nicht ändert,
:<math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} Q \left(t,x_{\mathrm{phys}}(t),
\frac{\mathrm{d}x_\mathrm{phys}(t)}{\mathrm{d}t} \right) = 0</math> .
Umgekehrt ist jede Erhaltungsgröße definitionsgemäß eine Funktion <math>Q(t,x,v)</math>, deren Zeitableitung auf physikalischen Bahnen verschwindet,
also ein Vielfaches (von Ableitungen) der Bewegungsgleichungen ist. Dieses Vielfache definiert die infinitesimale Symmetrie <math>\delta x\,</math>.
=== Anmerkungen ===
* Symmetrien der Bewegungsgleichungen sind nicht immer Symmetrien der Wirkung. Beispielsweise ist die Streckung <math>x(t)\mapsto \mathrm{e}^s x(t)</math> eine Symmetrie der Bewegungsgleichung <math>m \ddot{x}=0 </math> des freien Teilchens, nicht aber eine Symmetrie seiner Wirkung mit der Lagrangefunktion <math>\mathcal{L}=\frac{1}{2}\,m\,v^2</math>. Zu solch einer Symmetrie der Bewegungsgleichungen gehört keine Erhaltungsgröße.
* Die zu einer Symmetrie gehörige Erhaltungsgröße als Funktion der Zeit, des Ortes und der Geschwindigkeiten verschwindet genau dann, wenn es sich um eine Eichsymmetrie handelt. In solch einem Fall sind die Bewegunggleichungen nicht unabhängig, sondern eine Bewegungsgleichung gilt als Folge der anderen. Dies besagt das zweite Noethertheorem.
* Das Noethertheorem erklärt, warum man bei Multiplikation der Newtonschen Bewegungsgleichungen mit den Geschwindigkeiten bei zeitunabhängigem Potential den Energieerhaltungssatz erhält: die Geschwindigkeit ist die infinitesimale Änderung des Ortes bei zeitlicher Verschiebung. Ebenso erklärt das Noethertheorem, warum bei drehinvariantem Potential das Produkt der Bewegungsgleichungen mit dem Kreuzprodukt <math>\vec{n}\times\vec{x}</math> auf die Erhaltung des Drehimpulses in Richtung <math>\vec{n}</math> führt: das Kreuzprodukt <math>\vec{n}\times\vec{x}</math> ist die infinitesimale Änderung von <math>x</math> bei Drehung um die Achse <math>\vec{n}</math>.
* Bei Verschiebungen und Drehungen des Ortes ist die Lagrangefunktion strikt invariant, das heißt, die Funktion <math>K</math> verschwindet. Das gilt aber nicht für zeitliche Verschiebung und bei Transformation auf ein gleichmäßig [[Galilei-Transformation|bewegtes Bezugssystem]]. Unter zeitlichen Verschiebungen ist die Wirkung invariant, wenn die Lagrangefunktion nur vom Ort <math>x</math> und der Geschwindigkeit <math>v</math>, nicht aber von der Zeit abhängt. Dann ändert sich die Lagrangefunktion unter zeitlichen Verschiebungen um <math>\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}K</math> mit <math>K=\mathcal{L}</math>. Die zugehörige Erhaltungsgröße ist definitionsgemäß die Energie
:<math>E = v \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial v} - \mathcal{L}</math> .
Ist bekannt, wie die Energie von der Geschwindigkeit abhängt, so legt diese Gleichung die Lagrangefunktion bis auf einen Anteil fest, der linear in den Geschwindigkeiten ist und nicht zur Energie beiträgt. Denn zerlegt man die Lagrangefunktion beispielsweise in Anteile <math>\mathcal{L}_n v^n</math>, die homogen vom Grad <math>n</math> in der Geschwindigkeit sind, dann tragen sie mit <math>v \frac{\partial }{\partial v}\mathcal{L}_n v^n - \mathcal{L}_nv^n = (n-1) \mathcal{L}_n v^n</math> zur Energie bei. Ist also <math>E=\sum_n E_n(x) v^n\,</math>, so ist die Lagrangefunktion
:<math> \mathcal{L}=\sum_n \frac{1}{n-1}E_n v^n</math> .
Insbesondere besteht in Newtonscher Physik die Energie aus der kinetischen Energie, die quadratisch in der Geschwindigkeit ist, <math>n=2</math>, und der geschwindigkeitsunabhängigen potentiellen Energie, <math>n=0</math>. Daher ist die Lagrangefunktion <math>1/(2-1)</math>-mal die kinetische Energie plus <math>1/(0-1)</math>-mal potentielle Energie. In der relativistischen Physik sind in Maßsystemen mit <math>c=1</math> die Lagrangefunktion und die Energie eines freien Teilchens der Masse <math>m</math>
:<math>\mathcal{L}= - m \sqrt{1-v^2}\ ,\quad E = \frac{m}{\sqrt{1-v^2}}</math> .
-->
[[categoria:Teoremas de física]]
| |||