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== Definição ==
Seja um [[campo escalar]] diferenciável <math>f</math> em função do vector espaço <math>\vec
:<math>\forall n \in \mathbb{N*} \quad \nabla\!_n\,f = \frac{\partial f}{\partial \vec x_n}</math>
== Operações ==
Seja um [[campo escalar]] <math>f</math> e um [[campo vectorial]] <math>\vec F</math> ambos diferenciáveis em função do vector espaço <math>\vec
=== Gradiente ===
[[Imagem:Gradient2.svg|thumb|Visualização da interpretação de gradiente - o campo escalar domínio está em preto e a imagem, vectorial, em azul.]]
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:<math>\nabla f = \left\langle \frac{\partial f}{\partial x} , \frac{\partial f}{\partial y} , \frac{\partial f}{\partial z} \right\rangle</math>
O processo de computação do gradiente é revertido pelo [[integral de linha]] de acordo com o [[teorema do gradiente]].
=== Derivada direcional ===
A [[derivada direcional]] é um escalar que representa a derivada dum campo escalar ao longo de um vector (no caso abaixo, <math>\vec u</math>).
:<math>\forall \vec u \quad \nabla\!_{\vec u}\,f = \vec u \cdot \nabla f</math>
=== Divergente ===
A [[divergente]] (ou '''divergência''') é um campo escalar
:<math>\nabla \bullet \vec F = \sum^i{ \left( \nabla\!_i \vec F_i \right)} = \mbox{Sp}\mathbf{J}_{\vec F}</math>
Portanto a divergência de <math>\vec F</math> para três dimensões no espaço carteseano <math>\vec x = \left\langle x,y,z \right\rangle</math> é dada pela seguinte soma:
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=== Rotacional ===
A [[rotacional]] (ou '''rotor''') é o [[determinante]] entre três bases padrões, três componentes do vector del e três componentes dum campo vectorial.
:<math>\nabla \times \vec F = \sum^{ijk}{ \epsilon_{ijk} \cdot \hat e_i \cdot \left( \nabla\!_j \vec F_k \right)}</math>
Pelo [[teorema de Laplace]] o rotor de <math>\vec F</math> no espaço carteseano <math>\vec x = \left\langle x,y,z \right\rangle</math> é:
:<math>\begin{align}
\nabla \times \vec F = \bigg\langle
&\nabla_y \vec F_z - \nabla_z \vec F_y,\\
&\nabla_z \vec F_x - \nabla_x \vec F_z,\\
&\nabla_x \vec F_y - \nabla_y \vec F_x \bigg\rangle\\
\end{align}</math>
=== Operações combinadas ===
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| '''[[Laplaciano|Laplaciano escalar]]'''
| {{vermelho|(indefinido)}}
| {{
|-----
! Rotor do
| {{
| {{vermelho|(indefinido)}}
| '''[[Rotor do rotor]]'''
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|}
Todas essas três operações definidas e não-triviais são relacionadas pela seguinte identidade:
:<math>\underbrace{\left( \sum^i{ \left( \nabla^2 \vec F_i \right) \cdot \hat e_i} \right)}_{laplaciano\,vectorial} + \underbrace{\left(\nabla\times\nabla\times\vec F \right)}_{rotor\,do\,rotor} = \underbrace{\nabla\left(\nabla\cdot\vec F\right)}_{gradiente\,do\,divergente}</math>
==== Laplaciano ====
O [[laplaciano]] escalar é o divergente do gradiente ou o [[traço (álgebra linear)]] da [[matriz hessiana]] dum campo escalar.
:<math>\nabla^2 f = \nabla \bullet \nabla f = \sum^i{ \left( \nabla\!_i \nabla\!_i f \right)} = \mbox{Sp}
Alguns livros usam a letra grega delta ao invés do tradicional nabla elevado ao quadrado.▼
:<math>\Delta f = \nabla^2 f</math>▼
O laplaciano de <math>f</math> para três dimensões no espaço carteseano <math>\vec x = \left\langle x,y,z \right\rangle</math> é dado pela seguinte soma:
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:<math>\mathbf{\nabla^2 \vec F} + \nabla\times\nabla\times\vec F = \nabla\left(\nabla\cdot\vec F\right)</math>
== Alternativas ao símbolo nabla ==
=={{Ver também}}==▼
O símbolo [[nabla]] foi introduzido por [[William Rowan Hamilton|William Hamilton]] e rapidamente assimilado pela comunidade científica. Ainda assim, alguns autores preferem escrever a sigla de cada operador apresentado acima ao invés de usar o nabla:
:<math>\nabla \bullet \vec F = \mbox{div} \vec F</math>
No caso do rotacional as siglas podem fazer referências aos termos [[Língua inglesa|anglófonos]] como "''curl''" ou "''rotor''":
:<math>\nabla \times \vec F = \mbox{curl} \vec F = \mbox{rot} \vec F</math>
▲
:<math>\nabla^2 f = \mbox{div} \mbox{grad} f = \Delta f</math>
▲== {{Ver também}} ==
*[[Teorema da divergência]]
*[[Teorema do gradiente]]
*[[Teorema de Stokes]]
{{esboço-matemática}}
[[Categoria:Cálculo vetorial]]
[[en:Del]]
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