Grupo abeliano: diferenças entre revisões
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Linha 49:
Conseqüentemente nós podemos escrever qualquer grupo abeliano "G" como um produto direto da formula:
:<math>\mathbb{Z}_{k_1} \oplus \cdots \oplus \mathbb{Z}_{k_u}</math>
em que ''k<sub>1</sub> x ... x k<sub>u</sub> = |G|''.
Em dois caminhos únicos:
*Onde os números ''k''<sub>1</sub>,...,''k''<sub>''u''</sub> são as primeiras potências.
*onde ''k''<sub>1</sub> divide ''k''<sub>2</sub>, que divide ''k''<sub>3</sub> que divide até ''k''<sub>''u''</sub>.
=== Exemplo ===
Este teorema pode ser usado para se determinar todos os grupos abelianos de ordem 72.
72 = 2<sup>3</sup> 3<sup2</sup>
Então temos, inicialmente, o grupo cíclico Z<sub>72</sub> = Z<sub>8</sub> x Z<sub>9</sub>
Os demais grupos podem ser determinados pelas duas formas de escrever (como produtos de grupos cíclicos em que cada um é de ordem múltipla do anterior, ou como produtos de potências de números primos).
Como produtos de potências, temos as seguintes (outras) decomposições de 72:
: 72 = 2<sup>3</sup> x 3 x 3 = 2 x 2<sup>2</sup> x 3<sup>2</sup> = 2 x 2<sup>2</sup> x 3 x 3 = 2 x 2 x 2 x 3<sup>2</sup> = 2 x 2 x 2 x 3 x 3
Como sequências de números em que o seguinte é múltiplo do anterior, temos as decomposições de 72:
: 72 = 2 x 36 = 2 x 2 x 18 = 3 x 24 = 6 x 12 = 2 x 6 x 6
Ou seja, os grupos de ordem 72 que não são cíclicos são:
: Z<sub>2</sub> x Z<sub>36</sub> = Z<sub>2</sub> x Z<sub>4</sub> x Z<sub>9</sub>
: Z<sub>2</sub> x Z<sub>2</sub> x Z<sub>18</sub> = Z<sub>2</sub> x Z<sub>2</sub> x Z<sub>2</sub> x Z<sub>9</sub>
: Z<sub>3</sub> x Z<sub>24</sub> = Z<sub>8</sub> x Z<sub>3</sub> x Z<sub>3</sub>
: Z<sub>6</sub> x Z<sub>12</sub> = Z<sub>2</sub> x Z<sub>4</sub> x Z<sub>3</sub> x Z<sub>3</sub>
: Z<sub>2</sub> x Z<sub>6</sub> x Z<sub>6</sub> = Z<sub>2</sub> x Z<sub>2</sub> x Z<sub>2</sub> x Z<sub>3</sub> x Z<sub>3</sub>
==Grupo abelianos de ordem pequena==
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