Laplaciano: diferenças entre revisões
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Em matemática, e [[física]] o '''Laplaciano''' ou '''Operador de Laplace''' (ou ainda '''operador de Laplace-Beltrami'''), denotado por <math>\Delta\,</math> ou <math>\nabla^2</math>, sendo <math>\nabla</math> o operador [[
== Definição do laplaciano escalar ==
O operador Laplaciano no [[espaço euclidiano]] ''n''-dimensional é definido como o [[divergente]] do [[gradiente]]:
: <math>\Delta = \nabla^2 = \nabla \cdot \nabla </math>
Equivalentemente, o laplaciano é a soma de todas as [[derivada parcial|derivadas parciais]] simples de segunda ordem:
Seja <math>u:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}</math>, assim, o Laplaciano é definido como:
: <math>\Delta u = \sum_{i=1}^n \frac{\partial^2 u}{\partial x_i^2}</math>
=== Laplaciano escalar em <math>\mathbb{R}^3</math> ===
O caso particular em <math>\mathbf{R}^3</math>, onde as componentes são denotadas por '''x''', '''y''' e '''z''', temos:
: <math>\Delta u = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial z^2}</math>
Em [[coordenadas esféricas]] <math>\left(r,\theta,\phi\right)</math>, assume a forma:
: <math> \Delta u
= {1 \over r^2} {\partial \over \partial r}
\left( r^2 {\partial u \over \partial r} \right)
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Em [[coordenadas cilíndricas]] <math>\left(r,\phi,z\right)</math>, assume a forma:
: <math> \Delta u
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=== Laplaciano escalar em <math>\mathbb{R}^2</math> ===
O caso particular em <math>\mathbf{R}^2</math>, onde as componentes são denotadas por '''x''' e '''y''', temos:
: <math>\Delta u = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}</math>
Em [[coordenadas polares]] <math>\left(r,\phi\right)</math>, assume a forma:
: <math> \Delta u
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== Definição do laplaciano vetorial ==
Seja <math>\mathbf{u}:\mathbb{R}^m\to\mathbb{R}^n</math>, o Laplaciano é denotado por <math>\Delta</math> e é definido como a aplicação do laplaciano escalar em cada uma das componentes de <math>\mathbf{u}=\left(u_1,\ldots,u_m\right)</math>:
: <math>\Delta \mathbf{u} = \left(\triangle u_1,\ldots,\triangle u_m\right)</math>
=== Laplaciano vetorial em <math>\mathbf{R}^3</math> ===
Em <math>\mathbf{R}^3</math>, vale a igualdade:
: <math>\Delta\mathbf{u}=\nabla\left(\nabla\cdot\mathbf{u}\right)-\nabla\times\nabla\times\mathbf{u}</math>
O (importante) caso particular em que <math>\nabla\cdot\mathbf{u}=0</math>, vale:
: <math>\Delta\mathbf{u}=-\nabla\times\nabla\times\mathbf{u}</math>
ou seja, o laplaciano é '''menos o rotacional do rotacional'''.
== Propriedades do laplaciano ==
O laplaciano é um operador linear:
* <math>\Delta\left(\alpha f(x)+\beta g(x)\right)= \alpha \Delta f(x) +\beta \Delta g(x)</math>
A regra do produto:
* <math>\Delta(f g)=(\Delta f) g+2(\nabla f)\cdot(\nabla g)+f (\Delta g)</math>
== Ligações externas ==▼
▲== {{Ligações externas}} ==
* Roldao da Rocha Jr. E. Capelas de Oliveira e Jayme Vaz Jr.; [http://www.ime.unicamp.br/rel_pesq/1999/ps/rp28-99.ps O laplaciano: de Gauss a Beltrami até Hodge-de Rham] (formato [[PostScript]])
== {{
* [[Gradiente]]
* [[Divergente]]
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