Abrir menu principal

Em matemática e física, o Laplaciano ou Operador de Laplace (ou ainda operador de Laplace-Beltrami), denotado por   ou , sendo o operador nabla, é um operador diferencial de segunda ordem. O Laplaciano, nome dado em homenagem a Pierre-Simon Laplace, aparece naturalmente em diversas equações de derivadas parciais que modelam problemas físicos, tais como potencial elétrico e gravitacional, propagação de ondas, condução de calor e fluidos, e também fazendo parte das equações de Poisson para eletrostática e da equação de Schrödinger independente do tempo.

Definição do laplaciano escalarEditar

O operador Laplaciano no espaço euclidiano n-dimensional é definido como o divergente do gradiente:

 


Equivalentemente, o laplaciano é a soma de todas as derivadas parciais simples de segunda ordem:

Seja  , assim, o Laplaciano é definido como:

 

Laplaciano escalar em  Editar

O caso particular em  , onde as componentes são denotadas por x e y, temos:

 [1]

Em coordenadas polares  , assume a forma:

 

Laplaciano escalar em  Editar

O caso particular em  , onde as componentes são denotadas por x, y e z, temos:

 [2]

Em coordenadas esféricas  , assume a forma:

 

Em coordenadas cilíndricas  , assume a forma:

 

Definição do laplaciano vetorialEditar

Seja  , o Laplaciano é denotado por   e é definido como a aplicação do laplaciano escalar em cada uma das componentes de  :

 


Laplaciano vetorial em   e coordenadas cartesianasEditar

Em  , vale a igualdade:

 

O (importante) caso particular em que  , vale:

 

ou seja, o laplaciano é negativo do rotacional do rotacional.

Laplaciano vetorial em   e coordenadas cilíndricasEditar

O sistema de coordenadas cilíndricas usual  ,  ,  , em  :

 


Laplaciano vetorial em   e coordenadas esféricasEditar

O sistema de coordenadas esféricas usual  ,  ,  , em  :

 

Propriedades do laplacianoEditar

O laplaciano é um operador linear:

  •  

A regra do produto:

  •  

Ver tambémEditar

Referências

  1. «Faça exemplos com O Monitor». omonitor.io. Consultado em 23 de março de 2016 
  2. «Faça exemplos com O Monitor». omonitor.io. Consultado em 23 de março de 2016 

Ligações externasEditar

  Este artigo sobre matemática é um esboço. Você pode ajudar a Wikipédia expandindo-o.