Laplaciano

Em matemática e física, o Laplaciano ou Operador de Laplace (ou ainda operador de Laplace-Beltrami), denotado por   ou , sendo o operador nabla, é um operador diferencial de segunda ordem. O Laplaciano, nome dado em homenagem a Pierre-Simon Laplace, aparece naturalmente em diversas equações diferenciais parciais que modelam problemas físicos, tais como potencial elétrico e gravitacional, propagação de ondas, condução de calor e fluidos, e também fazendo parte das equações de Poisson para eletrostática e da equação de Schrödinger independente do tempo.

Definição do laplaciano escalarEditar

O operador Laplaciano no espaço euclidiano n-dimensional é definido como o divergente do gradiente:

 


Equivalentemente, o laplaciano é a soma de todas as derivadas parciais simples de segunda ordem:

Seja  , assim, o Laplaciano é definido como:

 

Significado Físico [1]Editar

Através de um desenvolvimento em série de Taylor em torno de um ponto  , demonstra-se que o laplaciano nesse ponto é proporcional à diferença entre o valor médio de   do campo no elemento de volume em torno do ponto e o valor   do campo em  . Logo, é possível interpretar imediatamente as equações que contenham o operador laplaciano. Um exemplo particularmente importante é o da equação de Laplace que governa o potencial eletrostático no vazio:

 

Essa equação diz que o valor médio do potencial em torno de um ponto   é igual ao valor do potencial no próprio ponto  .

Laplaciano escalar em  Editar

O caso particular em  , onde as componentes são denotadas por x e y, temos:

 

ExemploEditar

  • Calcule o Laplaciano de  
  

Em coordenadas polares  , assume a forma:

 


Laplaciano escalar em  Editar

O caso particular em  , onde as componentes são denotadas por x, y e z, temos:

 

ExemploEditar

  • Calcule o Laplaciano de  
  

Em coordenadas esféricas  , assume a forma:

 

Em coordenadas cilíndricas  , assume a forma:

 

Definição do laplaciano vetorialEditar

Seja  , o Laplaciano é denotado por   e é definido como a aplicação do laplaciano escalar em cada uma das componentes de  :

 


Laplaciano vetorial em   e coordenadas cartesianasEditar

Em  , vale a igualdade:

 

O (importante) caso particular em que  , vale:

 

ou seja, o laplaciano é negativo do rotacional do rotacional.

Laplaciano vetorial em   e coordenadas cilíndricasEditar

O sistema de coordenadas cilíndricas usual  ,  ,  , em  :

 


Laplaciano vetorial em   e coordenadas esféricasEditar

O sistema de coordenadas esféricas usual  ,  ,  , em  :

 

Propriedades do laplaciano [2]Editar

  •  
  •  
  •  

Resultados Importantes [1]Editar

  • O rotacional do gradiente de um campo escalar   é nulo.
 


Um campo vetorial   cujo rotacional seja nulo pode ser associado a um campo escalar  . Um exemplo é o campo eletrostático   que se associa com o potencial eletrostático  , e, dessa forma, convenciona:  .

  • A divergência do rotacional de um campo vetorial   é nula.
 

Um campo vetorial   cuja divergência seja nula pode ser associado a um campo vetorial  . Um exemplo é o campo magnetostático   que se associa com o potencial vetor  , e, dessa forma, convenciona:  .

  • Um campo vetorial numa região do espaço pode ser completamente especificado através de sua divergência e do seu rotacional, e de um conjunto adequado de condições de fronteira.

A condições de fronteira exigida é a especificação da componente normal no campo na fronteira da região.

Ver tambémEditar

Referências

  1. a b Vilão, Rui (2010). Electromagnetismo. Coimbra: Faculdade de Ciência e Tecnologia da Universidade de Coimbra. 
  2. Strauch, Irene (2008). Análise Vetorial em dez aulas. Porto Alegre: Departamento de Matemática Pura e Aplicada, Instituto de Matemática. 

Ligações externasEditar

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