Relação de ordem: diferenças entre revisões
Conteúdo apagado Conteúdo adicionado
Correçoes menores ordem ampla e estrita |
|||
Linha 2:
== Definições básicas ==
==== Definição 1: Ordem parcial
Dado um [[conjunto]] <math style="vertical-align:0%;"> A </math> e uma [[relação binária]] <math style="vertical-align:0%;"> R </math> sobre <math style="vertical-align:0%;"> A </math>: <math style="vertical-align:-17%;"> R \subseteq A \times A </math>, dizemos que <math style="vertical-align:0%;"> R </math> é uma ''relação
===== 1.a Reflexividade: =====
Linha 16:
Quando uma relação <math style="vertical-align:0%;"> R </math> satisfaz as condições acima, <math style="vertical-align:-30%;"> R(x,y) </math> é escrito como <math style="vertical-align:-22%;"> x \le y </math>. A relação habitual de menor ou igual em conjuntos numéricos, <math style="vertical-align:-17%;">\mathbb{N}, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}</math>, cumpre com essas condições explicando essa notação.
Um exemplo típico é a relação de inclusão (ampla) entre conjuntos: <math style="vertical-align:-14%;"> A \subseteq B </math>. geralmente definida sobre o conjunto das partes de <math style="vertical-align:0%;"> A </math>: <math style="vertical-align:-25%;"> \mathcal{P}\left(A\right) </math>. Um outro exemplo é a relação <big>"</big><math style="vertical-align:0%;">x</math> divide <math style="vertical-align:-25%;">y</math><big>"</big>: seja <math style="vertical-align:0%;">\mathbb{N}^{+} </math> o conjunto dos números naturais maiores que zero. Para <math style="vertical-align:-20%;">x, y \in \mathbb{N}^{+} </math>, dizemos que ''<math style="vertical-align:0%;">x</math> divide <math style="vertical-align:-20%;">y</math>'', em símbolos <math style="vertical-align:-27%;">x | y</math> se e somente se existe um <math style="vertical-align:-9%;"> z \in \mathbb{N}^{+} </math>, tal que <math style="vertical-align:-23%;">z . x = y</math>. Pode ser demonstrado que a relação "divide" assim definida satisfaz as condições da [[#Definição 1: Ordem parcial
==== Definição 2: Ordem parcial
Dado um [[conjunto]] <math style="vertical-align:0%;"> A </math> e uma [[relação binária]] <math style="vertical-align:0%;"> R </math> sobre <math style="vertical-align:0%;"> A </math>: <math style="vertical-align:-17%;"> R \subseteq A \times A </math>, dizemos que <math style="vertical-align:0%;"> R </math> é uma ''relação
===== 2.a Irreflexividade: =====
<math style="vertical-align:-
Se uma relação <math style="vertical-align:0%;"> R </math> satisfaz [[#1.c Transitividade:|transitividade]] e [[#2.a Irreflexividade:|irreflexividade]], pode se demonstrado que <math style="vertical-align:0%;"> R </math> também satisfaz:
Linha 29:
<math>\forall x, y \in A \; \left( R(x,y) \Rightarrow \neg R(y,x) \right) </math>.
Quando uma relação <math style="vertical-align:0%;"> R </math> é uma relação de ordem parcial estrita, <math style="vertical-align:-24%;"> R(x,y) </math> é escrito como <math style="vertical-align:-20%;"> x < y </math>.
Um conjunto que possui uma relação de ordem é chamado de ''conjunto ordenado''.
Linha 44 ⟶ 46:
== Relações de ordem linear ou total ==
Dada um relação <math style="vertical-align:0%;"> R </math>, dizemos que <math style="vertical-align:-26%;"> x, y \in A, \;\; x \neq y </math> são ''incomparáveis''
Uma ''relação de ordem linear ou total'' não têm elementos incomparáveis.
==== Definição 4: Totalidade ou linearidade ====
Sendo <math style="vertical-align:0%;"> R </math> uma relação sobre <math style="vertical-align:0%;"> A </math>, no caso de uma ordem ampla, a totalidade (linearidade) está dada por:
===== 4.a Totalidade ou linearidade (para ordens amplas): =====
Linha 67 ⟶ 69:
* ''densidade'': <math>\forall a, b \in S\ \left(a < b \Rightarrow \exists c \in S\left( a < c < b \right) \right)\,</math>
== Elementos distinguidos numa ordem ==
=== Cotas superior (majorante) e inferior (minorante) ===
Um elemento ''x'' de um conjunto parcialmente ordenado é uma cota superior ou [[majorante (matemática)|majorante]] de um subconjunto ''A'', quando ''x'' é maior ou igual a todos os elementos de ''A''.
Um elemento ''x'' de um conjunto parcialmente ordenado é uma cota inferior ou [[majorante (matemática)#Definição|minorante]] de um subconjunto ''A'', quando ''x'' é menor ou igual a todos os elementos de ''A''.
=== Maximal e minimal ===
Um elemento de um conjunto parcialmente ordenado é '''maximal''' quando não existe outro elemento que seja maior que ele.<br />
Um elemento de um conjunto parcialmente ordenado é '''minimal''' quando não existe outro elemento que seja menor que ele.
==Conjunto bem ordenado==
Um conjunto é '''bem ordenado''' quando todo subconjunto não vazio tem um elemento mínimo. Por exemplo, <math style="vertical-align:0%;">\mathbb{N}</math> é bem ordenado pela relação natural desse conjunto (ver [[Princípio da boa-ordenação]]), mas <math style="vertical-align:0%;">\mathbb{Z}</math>, <math style="vertical-align:-16%;">\mathbb{Q}</math> e <math style="vertical-align:0%;">\mathbb{R}</math> não são, segundo as suas ordens naturais. O conceito de boa ordem é importante para definir matematicamente
{{referências}}
| |||