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Relação de ordem

relação binária em um conjunto

Definições básicasEditar

Definição 1: Ordem parcial ampla ou não estritaEditar

Dado um conjunto   e uma relação binária   sobre     dizemos que   é uma relação de ordem (parcial) ampla (ou não estrita) sobre   se satisfaz as seguintes condições[1]:

1.a ReflexividadeEditar

  (ou seja, todo elemento está relacionado consigo mesmo);

1.b AntissimetriaEditar

  e

1.c TransitividadeEditar

 

Quando uma relação   satisfaz as condições acima,   é escrito como   A relação habitual de menor ou igual em conjuntos numéricos,  ,  ,  ,  , cumpre com essas condições explicando essa notação.

Um exemplo típico é a relação de inclusão (ampla) entre conjuntos:   geralmente definida sobre o conjunto das partes de     Um outro exemplo é a relação "  divide  ": seja   o conjunto dos números naturais maiores que zero. Para   dizemos que   divide  , em símbolos   se e somente se existe um   tal que   Pode ser demonstrado que a relação "divide" assim definida satisfaz as condições da Definição 1.

Definição 2: Ordem parcial estritaEditar

Dado um conjunto   e uma relação binária   sobre     dizemos que   é uma relação de ordem (parcial) estrita sobre   se satisfaz transitividade e:

2.a IrreflexividadeEditar

  (ou seja, nenhum elemento está relacionado consigo mesmo)

Se uma relação   satisfaz transitividade e irreflexividade, pode ser demonstrado que   também satisfaz:

2.b AssimetriaEditar

 

Analogamente, pode ser demonstrado que se uma relação   satisfaz transitividade e assimetria, então também satisfaz irreflexividade, fornecendo uma definição alternativa de ordem parcial estrita, preferida por alguns autores.

Quando uma relação   é uma relação de ordem parcial estrita,   é escrito como  

Um conjunto que possui uma relação de ordem é chamado de conjunto parcialmente ordenado.

Em contextos não matemáticos é mais comum utilizar as ordens em sentido estrito. Por exemplo, dizemos que João é mais alto que Pedro no sentido que a altura de João é estritamente maior que a de Pedro. Também pode ser verificado que a relação "  é antepassado de  " também é uma ordem estrita.

Definição 3: Correspondência entre ordens estritas e amplasEditar

Dada uma ordem estrita ou uma ordem ampla, pode ser definida a outra ordem correspondente, segundo:[2]

3.a CorrespondênciaEditar

 

 

Relações de ordem linear ou totalEditar

Dada um relação   dizemos que   são incomparáveis,   se e somente se   nem   Uma relação de ordem linear ou total não têm elementos incomparáveis.

Definição 4: Totalidade ou linearidadeEditar

Sendo   uma relação sobre   no caso de uma ordem ampla, a totalidade (linearidade) está dada por:

4.a Totalidade ou linearidade (para ordens amplas)Editar

  Também denominado "dicotomia".

No caso das ordens estritas:

4.b Totalidade ou linearidade (para ordens estritas)Editar

 

Também denominado "tricotomia", pois pode ser escrito equivalentemente:

 

As ordens dos conjuntos numéricos,  ,  ,  ,   são lineares. Dado um conjunto   com dois ou mais elementos,   o conjunto das partes de   não está linearmente ordenado por inclusão  .

Relações de ordem densaEditar

A ideia intuitiva de densidade de uma ordem corresponde a conceber que entre dois elementos comparáveis existe uma quantidade infinita de elementos.

Definição 5: DensidadeEditar

Uma relação de ordem estrita, parcial ou total, é denominada densa se entre dois elementos sempre existe um outro:

5 Densidade (para ordens estritas)Editar

 

Inversa de uma ordemEditar

Se uma relação   é uma ordem estrita, então a relação inversa de  

 

também é uma relação de ordem estrita. A inversa de " " é geralmente escrita " ". De maneira análoga, para uma relação de ordem ampla " " pode ser definida a sua inversa " ", que também é uma relação de ordem ampla.

A pesar dessa propriedade ser denominada às vezes de "dualidade", não é uma dualidade em sentido estrito, como a que possuem as álgebras de Boole.

Elementos distinguidos numa ordemEditar

Alguns elementos de um conjunto ordenado podem ser caraterizados usando a relação de ordem. Apesar das definições abaixo serem expressadas somente para ordens amplas, " ", ou estritas, " ", definições correspondentes podem ser estabelecidas usando Definição 3.

Mínimo e máximoEditar

Dada uma relação de ordem ampla   sobre um conjunto   um elemento   é denominado mínimo ou primeiro elemento se e somente se:

 

De maneira simétrica,   é denominado máximo ou último elemento se e somente se:

 

O conjunto   tem mínimo, mas não tem máximo. Os conjuntos  ,   e   não têm nem máximo, nem mínimo. O intervalo

 

tem mínimo 0 e máximo 1. Dado um conjunto   e considerando a ordem inclusão,  , o conjunto   , das partes de   tem mínimo   é máximo   Se um conjunto tem mínimo, então tem um único mínimo. O mesmo vale para o máximo.

Minimal e maximalEditar

Dada uma relação de ordem estrita   sobre um conjunto   um elemento   é denominado minimal quando não existe outro elemento que seja menor que ele:

 

Analogamente, um elemento de um conjunto parcialmente ordenado é maximal quando não existe outro elemento que seja maior que ele:

 

Cotas inferior (minorante) e superior (majorante)Editar

Um elemento   é uma cota inferior ou minorante de um subconjunto   se e somente se:

 

Um elemento   é uma cota superior ou majorante de um subconjunto   se e somente se:

 

Às vezes os elementos acima são denominados de limite inferior e limite superior, mas este conceito não deve ser confundido com o de limite de uma sequência.

Se consideramos o intervalo   então qualquer   é cota inferior do intervalo e qualquer   é cota superior.

Boa ordemEditar

Uma relação de ordem estrita   sobre um conjunto   é denominada uma boa ordem se e somente se todo subconjunto não vazio de   tem primeiro elemento segundo   Em símbolos, uma relação " " sobre   é uma boa ordem se e somente se:

  •  

Um conjunto com uma relação de boa ordem é denominado bem ordenado. Por exemplo,   é bem ordenado pela relação natural desse conjunto (ver Princípio da boa-ordenação), mas     e   não são, segundo as suas ordens naturais. O conceito de boa ordem é importante para definir matematicamente os números ordinais em teoria dos conjuntos.

Uma boa ordem é sempre uma ordem linear, pois se para   consideramos o conjunto   ele tem primeiro elemento, de modo que ou   ou  

Referências

BibliografiaEditar

  • BIRKHOFF, Garrett (1948). Lattice Theory (em inglês). New York: American Mathematical Society 
  • DAVEY, B.A.; PRIESTLEY, H.A (2002). Introduction to Lattices and Order (em inglês) 2nd. ed. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-78451-1 
  • FRAÏSSÉ, Roland (2000). Theory of Relations (em inglês) 1rst. (revised) ed. Amsterdam: Elsevier. ISBN 0-444-50542-3 
  • ROMAN, Steven (2008). Lattices and Ordered Sets (em inglês). New York: Springer. ISBN 978-0-387-78900-2 
  • ROSENSTEIN, Joseph G (1982). Linear Orderings (em inglês) 2nd. ed. New York: Academic Press. ISBN 0-12-597680-1 

Ver tambémEditar