Função de Möbius: diferenças entre revisões
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A clássica '''função de Möbius''' μ(''n'') é uma [[função (matemática)|função]] [[função multiplicativa|multiplicativa]] na [[Teoria dos números|Teoria dos Números]] e [[Combinatória]]. Tem esse nome em homenagem ao matemático alemão [[August Ferdinand Möbius]], que foi o primeiro a defini-la em [[1831]].
== Definição ==
[[Imagem:MoebiusMu.PNG|thumb|400px|A função de Möbius.]]
Denotada por μ(''n''), a função de Möbius possui em seu [[Domínio (matemática)|domínio de definição]] todos os [[número natural|números naturais]] positivos ''n'' e sua [[Conjunto imagem|imagem]] possui três elementos: [[-1]], [[Zero|0]], e [[Um|1]]. Uma maneira simples de regrar a relação entre os elementos do domínio e da imagem é a seguinte:
* μ(''n'') = 0 se ''n'' tem como divisor um outro número natural ao quadrado;▼
* μ(''n'') = 1 se ''n'' não tem como divisor um outro número natural ao quadrado e é decomposto em uma quantidade par de [[número primo|números primos]];▼
* '''μ(''n'') =
▲* '''μ(''n'') = 1''' se ''n'' não tem como divisor um outro número natural ao quadrado e é decomposto em uma quantidade par de [[número primo|números primos]];
▲* '''μ(''n'') =
Em conformidade com a definição acima, para estabelecer o valor de μ(''n'') faz-se necessário conhecer a [[Teorema fundamental da álgebra|fatoração]] de ''n'', o que por vezes dificulta muito o cálculo da função. Outra forma de definir a Função de Möbius é por dada meio da expressão a seguir<ref>Hardy & Wright, 1980, (16.6.4), p. 239</ref>, que é capaz de fornecer o valor de μ(''n'') sem a necessidade de conhecer os [[Teorema fundamental da álgebra|fatores primos]] de ''n'':
:<math>\mu(n) = \sum_{\stackrel{1\le k \le n }{ (k,\,n)=1}} e^{2\pi i \tfrac{k}{n}},</math>.
Contudo, a complexidade computacional para esse cálculo (que se fundamenta na determinação de [[Raiz da unidade|raízes da unidade]]) resulta em um custo semelhante ao do cálculo do [[produto de Euler]].
▲Também define-se que μ(1) = 1. O valor μ(0) é geralmente deixado indefinido. O software [[Maple]] define-o como sendo -1.
== Propriedades ==
Entre as propriedades que são satisfeitas pela função, estão as seguintes:
*<math>\sum_{d | n} \mu(d) = \left\{\begin{matrix}1&\mbox{ se } n=1\\
0&\mbox{ se } n>1\end{matrix}\right.</math>
*<math>\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\mu(k)}{k^s}=\frac{1}{\zeta(s)}</math>
== Ver também ==
* [[Função de Mertens]]
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