Função harmônica: diferenças entre revisões
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→Propriedades: +princípio do máximo |
m →Princípio do Máximo: +(ligação para princípio do máximo) |
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Uma função harmônica atinge seu máximo (mínimo) na fronteira. Mais precisamente, se <math>f:U \to \mathbb{R}</math> é uma função harmônica com <math>f \in C^2(U)\cap C(\bar{U})</math>, então <math>\max_{\bar{U}} f = \max_{\partial U} f </math>, bem como <math>\min_{\bar{U}} f = \min_{\partial U} f</math>. Aqui, <math>U</math> é um [[conjunto aberto]], <math>\bar{U}</math> é o [[fecho]] de <math>U</math>.
Esta propriedade é consequência do [[princípio do máximo]] forte<ref name=":0" />, o qual estabelece que se, além das hipóteses acima, <math>U</math> for conexo e existir <math>x_0\in U</math> tal que <math>f(x_0) = \max_{\bar{U}} f</math> <math>\left(\text{ou } f(x_0) = \min_{\bar{U}} f \right)</math>, então <math>f</math> é constante em <math>U</math>. Esta propriedade é, por sua vez, consequência direta da fórmula do valor médio
== Ver também ==
* [[Equação de Laplace]];
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