Função harmônica

Função harmônica, estritamente em Matemática, é qualquer solução não trivial da equação de Laplace, cujas derivadas primeira e segunda são contínuas. Aplica-se em vários sub-domínios da própria matemática, além de encontrar imensa e rica utilidade na física matemática, na física, em análise de processos estocásticos, entre várias aplicações.

Definição formalEditar

Função harmônica, em Matemática, em Física, em Física matemática e em Processos estocásticos, é uma função contínua e duplamente diferenciável f : UR (onde U é um subconjunto aberto de Rn) que satisfaz a equação de Laplace, e pode ser assim expressa:

 

em todo lugar em U. Isso é também frequentemente escrito como

  ou  
onde:   é o operador laplaciano e   é o operator Laplace-de Rham

Alternativamente, função harmônica pode ser definida de outros modos:

  • Função harmônica, em Matemática, também pode ser entendida como qualquer solução não trivial da equação de Laplace, cujas derivadas primeira e segunda são contínuas.
  • Há também uma outra definição aparentemente mais frágil, contudo equivalente. Realmente, uma função é dita harmônica se e somente se é fracamente harmônica — e a aparente fragilidade conceitual decorre apenas da recorrência.

Funções harmônicas podem ser definidas num espaço riemanniano múltiplo, por meio do uso do operator Laplace-de Rham,  

Nesse contexto, uma função é dita harmônica se  

Uma   função que satisfaz   é dita subarmônica.

PropriedadesEditar

Fórmula do Valor MédioEditar

Seja   uma função harmônica,   aberto. Então, para cada  , temos:

 

onde,   é o volume da bola unitária em  ,   é a bola de centro em   e raio   e   denota sua fronteira (a esfera de centro   e raio  ). Isto é, se   é harmônica, então   é igual a sua média sobre qualquer esfera de centro   e raio   contida no seu domínio (veja, por exemplo, Evans (2010)[1]).

Demonstração.

Com efeito, seja

 .

Fazendo a mudança de variável  , temos

 .

Agora, calculando a derivada de   em relação a  , obtemos:

 

que, voltando a   nos dá:

 

observando que   é a normal unitária exterior para cada  . Aqui,   denota a derivada normal de  .

Daí, das identidades de Green, temos que:

 

pois,   é harmônica por hipótese. Mostramos, assim, que   para todo  , logo   é uma função constante e, portanto:

 

este último passo sendo uma propriedade da média de uma função. Temos, assim, demonstrado o que queríamos.

Como consequência do resultado acima, podemos demonstrar que:

 

isto é: se   é harmônica, então   é igual a média de   sobre qualquer bola de centro   e raio   contida em seu domínio.

Demonstração.

Com efeito:

 .

o que demonstra o enunciado.

Esse resultado também tem uma recíproca. Se   é tal que

 

então,   é harmônica. Em outras palavras, uma função   duas vezes continuamente diferenciável cuja média sobre cada esfera contida em seu domínio é igual a função aplicada no centro da mesma é uma função harmônica.

Demonstração.

Assumimos, sem perda de generalidade, que   em alguma bola   Definindo

 

temos que   é constante em relação a  , logo   Por outro lado:

 

o que é uma contradição.

Princípio do MáximoEditar

Uma função harmônica atinge seu máximo (mínimo) na fronteira. Mais precisamente, se   é uma função harmônica com  , então  , bem como  . Aqui,   é um conjunto aberto,   é o fecho de  .

Esta propriedade é consequência do princípio do máximo forte[1], o qual estabelece que se, além das hipóteses acima,   for conexo e existir   tal que    , então   é constante em  . Esta propriedade é, por sua vez, consequência direta da fórmula do valor médio (veja acima).

Ver tambémEditar

Referências

  1. a b Evans, Lawrence (2010). Partial Differential Equations 2 ed. [S.l.]: American Mathematical Society. ISBN 978-0821849743 
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