Axioma: diferenças entre revisões
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=== Axiomas Não-lógicos ===
Axiomas não-lógicos são fórmulas que usam a função de hipóteses de teorias especificadas. Em razão sobre duas diferentes estruturas, por exemplo os números naturais e os integrais, podem envolver o mesmo axioma lógico; os axiomas não-lógicos visam capturar o que é especial sobre uma estrutura particular r(ou conjunto de estruturas, como os grupos). Desse modo os axiomas não-lógicos, diferentemente dos axiomas lógicos, não são tautologias. Outro nome para um axioma não-lógico é postulado.
Quase toda a teoria da matemática moderna iniciou de um dado conjunto de axiomas não-lógicos, e eles eram imaginados como um principio que toda teoria pode ser axiomatizada neste caminho e formalizada por uma linguagem vazia de fórmulas lógicas. Isto se tornou impossível e provou ser totalmente uma história; Assim recentemente esta aproximação retornou na forma de neologismo.
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=== Geometria euclidiana ===
Provavelmente a mais antiga e mais famosa lista de axiomas são os 4 + 1 [[postulados de Euclides]] da [[geometria plana]]. Os axiomas são ditos como "4 + 1" pois por volta de dois milênios o quinto postulado era questionável por ser uma derivação dos quatro primeiros. Ultimamente, o quinto postulado foi considerado independente dos outros quatro. Sem dúvida, ele pode assumir que não existem paralelas através de um ponto externo a uma linha existente, ou que infinitamente alguns existem. Estas opções nos dão formas alternativas de geometria em que os ângulos internos de um triângulo somados com o menor deles, exatamente, ou mais que um linha correta respectivamente e é conhecida como geometrias hiperbólicas, elípticas e euclidianas.
'''Análises reais'''
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Existe dessa forma, de um lado, a noção da completude de um sistema dedutivo e do outro temos a completude dos conjuntos de axiomas não-lógicos. A teoria da completude e a teoria da incompletude, a despeito de seus nomes, não contradiz o outro.
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