Método de Newton–Raphson: diferenças entre revisões
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Consideremos o problema de calcular a raiz de uma função ''f'', conforme a figura ao lado<ref>{{citar livro|autor= Howard Anton|coautor= Irl Bivens, Stephen Davis|título=''Cálculo Volume 1''|editora=Editora Bookman, 8° ediçao}}</ref> <ref>{{citar livro|autor=Richard L. Burden|coautor=J. Douglas Faires|título=''Análise Numérica''|editora=Editora CENGAGE Learning, 8° ediçao}}</ref>
<ref>{{citar livro|autor=Borche, Alejandro|título=''Métodos Numéricos''|editora=Editora Ed. da UFRGS}}</ref> <ref>{{citar livro|autor=Ruggiero, M|coautor=Lopes, V|título=''Cálculo Númerico - Aspectos Teóricos e Computacionais''|editora=Editora Pearson}}</ref>.
[[Ficheiro:Ganzhi001.jpg|thumb|As três primeiras iterações do método de Newton.<ref>{{Citar web|
Queremos calcular ''x<sub>1</sub>'' em função de ''x<sub>0</sub>'', sabendo que ''x<sub>1</sub>'' será a cota no eixo das abcissas interceptado pela reta tangente à curva, originada por ''x<sub>0</sub>''.
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f_{n}(x_{1},x_{2},...,x_{n})&=&0
\end{array}
</math><ref>{{Citar web|url=http://omonitor.io/?q=newtonsistemas+2|titulo=Faça exemplos com <b>O Monitor</b>|acessodata=2016-03-22|obra=omonitor.io}}</ref>
Podemos analisar esse sistema de equações na forma vetorial, definindo o vetor ''F(x)'' tal que:
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Consequentemente, em problemas envolvendo sistemas de equações, teremos que o '''Método de Newton''' será dado pela iteração:
<math> x_{n+1} = x_n - J_F^{-1}(x_n) F(x_n) </math><ref>{{Citar web|url=http://omonitor.io/?q=newtonsistemas+2|titulo=Faça exemplos com <b>O Monitor</b>|acessodata=2016-03-22|obra=omonitor.io}}</ref>
== Exemplos ==
1) Neste exemplo<ref>{{Citar web|url=http://omonitor.io/?q=geometriadometododenewton|titulo=Confira este exemplo e faça outros com <b>O Monitor</b>|acessodata=2016-03-22|obra=omonitor.io}}</ref>, mostraremos porque a função ''f'' deve ser diferenciável em ''x<sub>n</sub>'', para a satisfazer a condição inicial. Considere a função ''f(x)=|x-3|-1''. Essa função possui uma cúspide em (''3,-1''); portanto, ''f'' não é diferenciável nesse ponto. Analisando o gráfico dessa função, percebemos que ''x=2'' e ''x=4'' são suas raízes. Caso iniciemos o '''Método de Newton''' com ''x<sub>0</sub>=3'', o processo iterativo falhará porque a derivada de ''f'' em ''x=3'' não é definida.
2) Neste exemplo<ref>{{Citar web|url=http://omonitor.io/?q=geometriadometododenewton|titulo=Confira este exemplo e faça outros com <b>O Monitor</b>|acessodata=2016-03-22|obra=omonitor.io}}</ref>, mostraremos porque a função ''f'' deve ter derivada não nula em ''x<sub>n</sub>''. Considere a função ''f(x)=x<sup>2</sup>-1''. Essa função possui uma reta tangente horizontal em (''0,-1''); portanto, a derivada de ''f'' nesse ponto é nula. Como a reta tangente é horizontal, logo ela nunca interceptará o eixo das abcissas e, assim, o '''Método de Newton''' falhará, pois ocorrerá uma indeterminação matemática (divisão por zero).
3)Neste exemplo<ref>{{Citar web|url=http://omonitor.io/?q=geometriadometododenewton|titulo=Confira este exemplo e faça outros com <b>O Monitor</b>|acessodata=2016-03-22|obra=omonitor.io}}</ref>, mostraremos que mesmo escolhendo-se uma aproximação ''x<sub>0</sub>'' distante da real raiz da função ''f'', o '''Método de Newton''' ainda assim poderá convergirá rapidamente para a solução de ''f(x)=0''. Considere a função ''f(x)=sen(x)''. Se arbitrarmos ''x<sub>0</sub>=10,85 rad'', valor relativamente distante da primeira raiz, ''x=π rad'', o método convergirá para essa raiz rapidamente.
Isso mostra que a primeira aproximação da raiz não necessita ser um valor próximo dela. Existe casos em que essa aproximação é distante da raiz e mesmo assim o método converge, conforme mostrado no exemplo acima.
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