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Somatório: diferenças entre revisões

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Linha 54:
 
9. <math>
\sum_{k\le j \le i\le n=0}^t a_x_{i,j2n} =+ \sum_{i=k}^n\sum_{j=k0}^it a_x_{i,j2n+1} = \sum_{jn=k0}^n\sum_{i=j2t+1}^n a_x_{i,jn}
</math>
 
10. <math>
\sum_{in=m+k0}^nt \sum_{ji=m0}^{iz-k1} a_x_{z\cdot n+i,j} = \sum_{jn=m0}^{n-k}z\sum_{i=jcdot t+kz-1}^n a_x_{i,jn}
</math>
 
11. <math>
\left(\sum_{nk=0}^t{n} f(2na_k\right) +\cdot \left(\sum_{nk=0}^t{n} f(2n+1b_k\right)=\sum_{k=0}^{2n} \sum_{i=0}^k a_ib_{k-i} - \sum_{nk=0}^{2t+n-1} f\left(a_k \sum_{i=n+1}^{2n-k}b_i +b_k \sum_{i=n+1}^{2n-k} a_i\right)
</math>
 
Nas propriedades acima, assumimos que as sequências <math display="inline">\{x_k\}_{k\in\mathbb{N}}</math>, <math display="inline">\{y_k\}_{k\in\mathbb{N}}</math> pertencem a um [[espaço vetorial]]. Particularmente, na propriedade 8., <math display="inline">|\cdot|</math> denota a [[Norma (matemática)|norma]] (quando existe) definida neste espaço. Esta propriedade é uma extensão natural da [[desigualdade triangular]]. No caso do espaço usual dos números reais, <math display="inline">|\cdot|</math> é a função [[Valor absoluto (álgebra)|valor absoluto]].▼
12. <math>▼
\sum_{n=0}^t \sum_{i=0}^{z-1} f(z\cdot n+i) = \sum_{n=0}^{z\cdot t+z-1} f(n)
</math> ▼
 
Para uma sequência <math display="inline">\{x_{i,j}\}_{(i,j)\in\mathbb{N}\times\mathbb{N}}</math> é usual denotarmos somatórios duplos da seguinte forma:<math display="block">\sum_{i,j=1}^n := \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n x_{i,j}</math>Neste contexto temos as seguintes propriedades:
13. <math>▼
\sum_{i=s}^m\sum_{j=t}^n {a_i}{c_j} = \sum_{i=s}^m a_i \cdot \sum_{j=t}^n c_j
</math>
 
141. <math>
\sum_{k\le j \le i\le n} x_{i,j} := \sum_{i=k}^n\sum_{j=k}^i x_{i,j} = \sum_{j=k}^n\sum_{i=j}^n x_{i,j}
\sum_{n=s}^t \ln f(n) = \ln \prod_{n=s}^t f(n)▼
</math>
 
152. <math>
c^{\left[\sum_{ni=sm+k}^t f(n) \right]sum_{j=m}^{i-k} a_{i,j} = \prod_sum_{j=m}^{n-k}\sum_{i=sj+k}^tn c^a_{f(n)i,j}
</math>
 
Algumas propriedades envolvendo soma e produto podem ser generalizadas usando a notação de somatório e [[produtório]]. Dada uma sequência <math display="inline">\{x_i\}_{i\in\mathbb{N}}</math>, o produtório é, usualmente, denotado por:<math display="block">\prod_{i=1}^n x_i := x_1x_2x_3\cdots x_n</math>Por exemplo, temos as propriedades:
16. <math>
 
\left(\sum_{k=0}^{n} a_k\right) \cdot \left(\sum_{k=0}^{n} b_k\right)=\sum_{k=0}^{2n} \sum_{i=0}^k a_ib_{k-i} - \sum_{k=0}^{n-1} \left(a_k \sum_{i=n+1}^{2n-k}b_i +b_k \sum_{i=n+1}^{2n-k} a_i\right)
▲121. <math>
▲\sum_{n=s}^t \ln f(n)x_n = \ln \prod_{n=s}^t f(n)x_n
</math>
 
▲132. <math>
▲Nas propriedades acima, assumimos que as sequências <math display="inline">\{x_k\}_{k\in\mathbb{N}}</math>, <math display="inline">\{y_k\}_{k\in\mathbb{N}}</math> pertencem a um [[espaço vetorial]]. Particularmente, na propriedade 8., <math display="inline">|\cdot|</math> denota a [[Norma (matemática)|norma]] (quando existe) definida neste espaço. Esta propriedade é uma extensão natural da [[desigualdade triangular]]. No caso do espaço usual dos números reais, <math display="inline">|\cdot|</math> é a função [[Valor absoluto (álgebra)|valor absoluto]].
c^{\left[\sum_{n=s}^t x_n \right]} = \prod_{n=s}^t c^{x_n}, \mbox{onde}~c > 0.
▲</math>
 
== Alguns somatórios de funções polinomiais ==
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