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Somatório

adição de uma sequência de números

Somatório ou somatória [1] significa a soma de termos. Em matemática, um somatório é o operador matemático da soma de termos de uma sequência. Usualmente, um somatório (ou somatória) é denotado pela letra grega sigma () e é definido por:

,

onde é uma sequência dada, é chamado de índice do somatório, denota o índice inicial (ou limite inferior) e o índice final (ou limite superior)[2][3]. Por exemplo, temos:

.

Índice

AplicaçõesEditar

Os somatórios são úteis para expressar somas arbitrárias de números, por exemplo em fórmulas. Se queremos representar a fórmula para se calcular a média aritmética de   números, teremos a seguinte expressão:

 ,

onde   é um dada sequência de   números.[3]

Algumas propriedadesEditar

Sejam  ,   sequências (por exemplo, de números reais) e   um escalar. Então, temos:

1.  [3]

2.  [3]

3.  

4.  [3]

5.  [3]

6.  

7.  

8.  

9.  

10.  

11.  

Nas propriedades acima, assumimos que as sequências  ,   pertencem a um espaço vetorial. Particularmente, na propriedade 8.,   denota a norma (quando existe) definida neste espaço. Esta propriedade é uma extensão natural da desigualdade triangular. No caso do espaço usual dos números reais,   é a função valor absoluto.

Para uma sequência   é usual denotarmos somatórios duplos da seguinte forma:

 
Neste contexto temos as seguintes propriedades:

1.  

2.  

Algumas propriedades envolvendo soma e produto podem ser generalizadas usando a notação de somatório e produtório. Dada uma sequência  , o produtório é, usualmente, denotado por:

 
Por exemplo, temos as propriedades:

1.  

2.  

Alguns somatórios de funções polinomiaisEditar

  1.  
  2.   (Soma de uma progressão aritmética)
  3.   (Número piramidal quadrado)
  4.  [3]
  5.  [3]
  6.  [3]
  7.  [3]
  8.  

Alguns somatórios de funções exponenciaisEditar

  1.   (Soma dos termos de uma progressão geométrica)
  2.  ,  [3]

Alguns somatórios de fraçõesEditar

1)  .


Pelo Teorema de Parseval:

 

Onde:

 

Para n ≠ 0, e a0 = 0; Com isso,

 

e

 

Portanto:

 


2) Fixando-se, por exemplo,   nas expressões abaixo:

 
 .

Para  :

 
 .

Comparando as expressões, dá para observar de um modo geral que:

 

Ou melhor:

 

Desenvolvendo-se cada um dos lados:

 .

Logo:

 .

Observe que, se   for um número muito grande, ou melhor, se ele tender a infinito, essa soma será 1, pois:

 .


Exemplo, calcular a soma:

 .

Aplicando-se a fórmula para  :

 .

Com esse procedimento também é possível encontrar muitos outros somatórios de frações, como por exemplo:

3)  

4)  

Perceba que nas expressões (3) e (4), quando   tender a infinito, o valor do somatório (limite) tenderá, respectivamente a   e  

5)  

Ver tambémEditar

Ligações externasEditar

Referências

  1. «Vocabulário Ortográfico da Língua Portuguesa». Academia Brasileira de Letras. Consultado em 7 de dezembro de 2016 
  2. Howard, Anton (2007). Cálculo. [S.l.]: Bookmann. pp. 373–377 
  3. a b c d e f g h i j k Bronshtein, I.N. (2007). Handbook of Mathematics. Berlin: Springer. pp. 6–7;18–19