Problema de valor inicial: diferenças entre revisões
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Em [[matemática]], um '''problema de valor inicial''' ou '''problema de condições iniciais''' ou '''problema de Cauchy''' é uma [[equação diferencial]] que é acompanhada do valor da função
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O problema de condição inicial▼
Um problema de valor inicial (também chamado de '''P.V.I.''') é uma equação diferencial da forma
:<math> \begin {cases}
y'(t) = f(t, y(t))\\
y(t_0) = y_0
\end{cases}</math>
Uma solução para um P.V.I é uma função <math>y</math> que é solução da equação diferencial e satisfaz <math> y(t_0) = y_0 </math>.
Em dimensões superiores, a equação diferencial é substituída por uma família de equações <math>y_i'(t)=f_i(t, y_1(t), y_2(t), \dotsc,y_n(t))</math>, e <math>y(t)</math> é um vetor n-dimensional da forma <math>(y_1(t), y_2(t), \dotsc, y_n(t))</math>. Mais geralmente, <math> y </math> pode assumir valores em espaços de dimensão infinita, como o [[Espaço de Banach]] ou o espaço de [[Distribuição (matemática)| distribuições]].
P.V.I.s podem ser analisados em ordens superiores tratando as derivadas como uma função independente, e.g. <math>y''(t)=f(t,y(t),y'(t))</math>.
== Existência e unicidade de soluções ==
Para uma grande classe de P.V.I.s, a existência e unicidade de uma solução pode ser ilustrada através do uso de uma calculadora.
O [[teorema de Picard-Lindelöf]] garante a unicidade da solução em um intervalo que contem ''t''<sub>0</sub> if ''f''é continua em uma região contendo ''t''<sub>0</sub> e ''y''<sub>0</sub> e satisfaz a [[Função Lipschitz contínua|condição de Lipschitz]] na variável ''y''.
A prova desse teorema provem de uma reformulação do problema como uma [[equação integral]] equivalente. A integral pode ser considerada como um operador que transforma uma função em outra, de modo que a solução é um [[ponto fixo]] do operador. O [[teorema do ponto fixo de Banach]] é evocado para mostrar que existe um único ponto fixo que é solução do P.V.I..
Uma prova antiga do teorema de Picard–Lindelöf constrói uma sequencia de funções que convergem para a solução da equação integral, e assim, para a solução do P.V.I.. Essa construção é chamada às vezes de "método de Picard" ou "método de aproximações sucessivas".
[[Hiroshi Okamura]] obteve uma [[condição necessary e suficiente]] para a solução do P.V.I. ser única. Essa condição tem a ver com a existência de uma [[função de Lyapunov]] para o sistema.
Em algumas situações, a função "f" não é de [[Função suave|classe C<sup>1</sup>]], ou mesmo Lipschitz continua, então o resultado usual garantindo a existência local de uma solução única não se aplica. No entanto, o [[teorema de existência de Peano]] prova que mesmo para f meramente contínua, existem soluções locais; porém não há garantia de unicidade.<ref>Coddington, Earl A.; Levinson, Norman (1955). ''Theory of ordinary differential equations.'' New York-Toronto-London: McGraw-Hill Book Company, Inc. (Teorema 1.3)</ref><ref>Robinson, James C. (2001). Infinite-dimensional dynamical systems: An introduction to dissipative parabolic PDEs and the theory of global attractors. Cambridge: Cambridge University Press. (Teorema 2.6)</ref>
== Exemplos ==
▲O problema de condição inicial
:<math> \begin{cases}
y(0)=2
\end{cases}</math>
tem
== Exemplo: Oscilador Harmônico ==
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