Transformação linear: diferenças entre revisões

{{sem-fontes|data=Dezembro de 2011}}

[[Imagem:Reflection of a triangle about the y axis.svg|thumb|250px|A reflexão em torno do eixo Oy é um exemplo de transformação linear.]]

Em [[Matemática]], uma '''transformação linear''' é um tipo particular de [[função (matemática)|função]] entre dois [[espaço vetorial|espaços vetoriais]] que preserva as operações de adição vetorial e multiplicação por escalar. Uma transformação linear também pode ser chamada de '''aplicação linear''' ou '''mapa linear'''. No caso em que o [[Domínio (matemática)|domínio]] e [[contradomínio]] coincidem, é usada a expressão '''operador linear'''. Na linguagem da [[álgebra abstrata]], uma transformação linear é um [[homomorfismo]] de espaços vetoriais.

 

Sejam <math>V</math> e <math>W</math> [[espaço vetorial|espaços vetoriais]] sobre o mesmo [[corpo (matemática)|corpo]] <math>K</math>.

 

* se <math>v</math>&nbsp;∈&nbsp;<math>V</math>, então <math>T(-v)=-T(v)</math>, pois <math>T(v)+T(-v)=T(v-v)=T(0)=0</math>.

 

O ''núcleo'' de uma transformação linear <math>T</math> de <math>V</math> em <math>W</math>, denotado por <math>\ker(T)</math>, é o [[conjunto]]

 

Se uma aplicação linear <math>T</math> de <math>V</math> em <math>W</math> for [[função injectiva|injectiva]], então <math>\ker(T)=\{0\}</math>, pois <math>T(0)=0</math> e, portanto, pela injectividade de <math>T</math>,o único vector <math>v</math>&nbsp;∈&nbsp;<math>V</math> tal que <math>T(v)=0</math> é <math>0</math>. Reciprocamente, se <math>\ker(T)=\{0\}</math>, então <math>T</math> é injectiva, pois, dados <math>v,w</math>&nbsp;∈&nbsp;<math>V</math>

:<math display="inline">T(v)=T(w)\Longleftrightarrow T(v)-T(w)=0\Longleftrightarrow T(v-w)=0\Longleftrightarrow v-w\in\ker(T)\Rightarrow v-w=0\Longleftrightarrow v=w</math>.

Sejam <math>V</math> e <math>W</math> espaços vectoriais sobre um corpo <math>K</math>. A imagem de uma transformação linear <math>T</math> de <math>V</math> em <math>W</math> é o conjunto

:<math>\operatorname{Im}(T)=\{f(v)\,|\,v\in V\}</math>.

:<math>\alpha_1w_1+\alpha_2w_2=\alpha_1T(v_1)+\alpha_2T(v_2)=T(\alpha_1v_1+\alpha_2v_2)\in\mathop{\mathrm{Im}}(T)</math>.

Logo, <math>\operatorname{Im}(T)</math> é um subespaço vetorial de <math>W</math>.

Sejam <math>V</math> e <math>W</math> espaços vectoriais sobre um corpo <math>K</math>, sendo <math>V</math> de [[base (álgebra linear)#Cardinalidade e dimensão|dimensão]] finita, e seja <math>T</math> uma transformação linear de <math>V</math> em <math>W</math>. Então

:<math>\dim(V)=\dim(\ker(T))+\dim(\operatorname{Im}(T))</math>.

Este teorema também pode ser estendido para dimensões infinitas, mas, neste caso, sua demonstração e até o enunciado dependem do [[axioma da escolha]].

 

Denomina-se ''isomorfismo'' uma transformação linear que seja bijetiva.

 

 

== Exemplos de matrizes de transformações lineares ==

Alguns casos especiais de transformações lineares do espaço '''R'''² são bastante elucidativas:

 

* [[Rotação (matemática)|rotação]] de 90 graus no sentido anti-horário:

* [[Rotação (matemática)|rotação]] por ''θ'' graus no sentido anti-horário:

* [[Reflexão (matemática)|reflexão]] em torno do eixo ''x'':

* [[Reflexão (matemática)|reflexão]] em torno do eixo ''y'':

* Projeção no eixo ''y'':

 

== Espaço das Transformações Lineares ==

Sejam <math>V</math> e <math>W</math> espaços vetoriais sobre o corpo <math>K</math>. Seja <math>L(V,W)</math> definido como o conjunto de todas transformações lineares de <math>V</math> em <math>W</math>. Como funções, para quaisquer operadores <math>T</math> e <math>U</math> e qualquer escalar <math>a</math>, podemos definir <math>T + U</math> e <math>aT</math> por:

: <math>(T + U)(v) = T(v) + U(v)</math>

Pelo fato de que, dadas bases de <math>V</math> e <math>W</math>, temos uma representação de cada transformação linear através de uma matriz de dimensão <math>n</math>&nbsp;×&nbsp;<math>m</math>, concluímos que a dimensão de <math>L(V,W)</math> é <math>nm</math> (no caso de dimensão infinita, algum cuidado deve ser tomado nesta demonstração).

 

Um caso particular importante é o espaço <math>L(V,V)</math>, das transformações lineares de um espaço vectorial nele mesmo (operadores lineares).

 

Se existe um polinómio não-nulo ''f(x)'' tal que ''f(T) = 0'', então o conjunto não-vazio dos polinómios ''q(x)'' tais que ''q(T) = 0'' forma um ideal no anel de todos polinómios com coeficientes no corpo. Portanto, existe um único polinómio mónico ''p(x)'' tal que ''p(T) = 0''. Este polinómio é chamado de [[polinómio mínimo]] de ''T''.

 

{{principal|1=Espaço dual}}

Seja <math>V</math> um espaço vetorial sobre um corpo <math>K</math>. O espaço dual de <math>V</math>, representado por <math>V^*</math>, é o espaço vetorial <math>L(V,K)</math> das transformações lineares de <math>V</math> em <math>K</math>.

== Ver também ==

* [[Função linear]]

* [[Função polinomial de primeiro grau]]