Grupo abeliano: diferenças entre revisões
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Em [[álgebra abstrata]], um '''grupo abeliano''', chamado também de '''grupo comutativo''', é um [[grupo (matemática)|grupo]] <math>(G,*)</math> em que <math>a*b = b*a</math> para quaisquer <math>a</math> e <math>b</math> em <math>G</math>.<ref name="beachy">[[John A. Beachy]], ''Introductory Lectures on Rings and Modules'', 0.3 ''Abelian Groups'' [http://www.math.niu.edu/~beachy/rings_modules/notes/03.pdf <small><nowiki>[em linha]</nowiki></small>]</ref> Em outras palavras, a aplicação da [[operação binária]] não depende da ordem dos elementos do grupo. Os '''grupos abelianos''' receberam esse nome devido a [[
Em geral, a teoria dos grupos abelianos é mais simples do que a dos não abelianos, e os grupos abelianos [[finito]]s são bem compreendidos. Por outro lado, os grupos abelianos [[infinito]]s são um tópico de pesquisa científica atual.
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==Notação==
Há duas convenções principais para os grupos abelianos - aditivos e multiplicativos.
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A notação multiplicativa é a notação usual para grupos, quando a notação aditiva for à notação usual para os [[módulo]]s. Ao estudar grupos abelianos à parte de outros grupos, a notação aditiva é usada geralmente. <ref name="beachy" />
Exemplos: Cada [[grupo cíclico]] G é abeliano, porque se x, y estiver em G, então ''xy'' = ''a''<sup>''m''</sup>''a''<sup>''n''</sup> = ''a''<sup>''m'' + ''n''</sup> = ''a''<sup>''n'' + ''m''</sup> = ''a''<sup>''n''</sup>''a''<sup>''m''</sup> = ''yx''.
Assim os [[números inteiros|inteiros]], Z, dão forma a um grupo abeliano sob a [[adição]], como os [[aritmética modular|inteiros módulo ''n'']], Z/nZ.
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Cada [[anel]] é um grupo abeliano respeitando a sua operação da adição. Em um [[anel comutativo]] os elementos [[inverso|invertíveis]] (também chamados de unidades), dão forma a um grupo multiplicativo abeliano.
De fato, os [[números reais]] são um grupo abeliano sob a adição, e os números reais sem ser o zero são um grupo abeliano sob a multiplicação. Cada subgrupo de um grupo abeliano é [[subgrupo normal|normal]], de modo que cada um de tais subgrupos dá origem a um [[grupo quociente]]. Os subgrupos, os quocientes, e as [[soma direta de grupos|somas diretas de grupos]] abelianos são também abelianos.
As [[matriz]]es, mesmo [[matriz invertível|matrizes invertíveis]], não dão forma a um grupo abeliano sob a multiplicação porque a multiplicação de matrizes arbitrárias de ordem maior ou igual a dois não é comutativa.
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==Grupos abelianos finitos==
O '''teorema fundamental dos grupos abelianos finitos''' estabelece que todo grupo abeliano finito ''G'' pode ser expresso como a soma direta de subgrupos cíclicos de ordem [[número primo|prima]]. Este é um caso especial do teorema fundamental dos grupos abelianos finitamente gerados no caso em que ''G'' tem ordem livre de torsão igual a 0.
O grupo cíclico <math>\mathbb{Z}_{mn}</math> de ordem ''mn'' é isomórfo ao produto direto de <math>\mathbb{Z}_{m}</math> e <math>\mathbb{Z}_{n}</math> se e somente se ''m'' e ''n'' são [[coprimo]]s. Consequentemente qualquer grupo abeliano ''G'' pode ser escrito como um produto direto da forma
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| [[Imagem:GroupDiagramMiniC2C4.svg|center]]
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| {{SubSup|Z|2|3}}
| {{SubSup|Z|2|2}} (7) , Z<sub>2</sub> (7)
| os elementos não triviais correspondem aos pontos do [[plano de Fano]], e os subgrupos Z<sub>2</sub> × Z<sub>2</sub> às rectas
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! rowspan="2" | 9
| Z<sub>9</sub>
| Z<sub>3</sub>
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| [[Imagem:GroupDiagramMiniC9.svg|center]]
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| {{SubSup|Z|3|2}}
| Z<sub>3</sub> (4)
|
| [[Imagem:GroupDiagramMiniC3x2.svg|center]]
Linha 191:
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| {{SubSup|Z|2|4}}
| Z<sub>2</sub> (15) , {{SubSup|Z|2|2}} (35) , {{SubSup|Z|2|3}} (15)</td>
|
| [[Imagem:GroupDiagramMiniC2x4.svg|center]]
Linha 197:
| Z<sub>4</sub> × {{SubSup|Z|2|2}}
| Z<sub>2</sub> (7) , Z<sub>4</sub> (4) , {{SubSup|Z|2|2}} (7) , {{SubSup|Z|2|3}}, Z<sub>4</sub> × Z<sub>2</sub> (6)
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| [[Imagem:GroupDiagramMiniC2x2C4.svg|center]]
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Linha 206:
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| {{SubSup|Z|4|2}}
| Z<sub>2</sub> (3), Z<sub>4</sub> (6) , {{SubSup|Z|2|2}}, Z<sub>4</sub> × Z<sub>2</sub> (3)</td>
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| [[Imagem:GroupDiagramMiniC4x2.svg|center]]
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==Relação com outros tópicos matemáticos==
A coleção de todos os grupos abelianos, junto com os [[homomorfismo de grupos|homomorfismos]] entre eles, dá forma a uma [[Categoria (teoria das categorias)|categoria]], o protótipo de uma [[categoria abeliana]]. Esta categoria é denominada '''Ab'''.
Muitos grupos abelianos grandes carregam uma [[espaço topológico|topologia]] natural, tornado-se [[grupo topológico|grupos topológicos]].
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== Referências ==
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{{Teoria dos grupos}}
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