Binómio de Newton: diferenças entre revisões
Conteúdo apagado Conteúdo adicionado
m Desfeita(s) uma ou mais edições de 77.54.52.229, com Reversão e avisos |
Complementos na seção Triângulo de Pascal. Melhoria na explicação de como resolver os binômios através do triângulo de Pascal. |
||
Linha 34:
: <math>{\left(x + y\right)}^2 = x^2y^0 + 2x^1y^1 + x^0y^2</math>
: <math>{\left(x + y\right)}^3 = x^3y^0 + 3x^2y^1 + 3x^1y^2 + x^0y^3</math>
: <math>{\left(x + y\right)}^4 = x^4y^0 + 4x^3y^1 + 6x^2y^2 + 4x^1y^3 + x^0y^4.</math>[[Ficheiro:Triangulo de Pascal.svg|miniaturadaimagem|O triângulo de Pascal]]<br />
Para resolvermos binômios do tipo (x+y)<sup>n</sup> é possível utilizar o triângulo de pascal, onde ''n'' é a linha reapresentada no triângulo (na imagem indo de 0 à 14). Para iniciar o processo utilizamos o primeiro (x) termo da esquerda para a direita:
(x+y)<sup>n</sup>= __x<sup>n</sup>___+__x<sup>(n-1)</sup>__x<sup>(n-2)</sup>+ ...+__x<sup>(n-n)</sup>__
Agora seguindo o mesmo procedimento para o segundo (y) termo, porém da direita para a esquerda:
(x+y)<sup>n</sup>=__x<sup>n</sup> y<sup>(n-n)</sup>+__x<sup>(n-1)</sup> y<sup>1</sup>+__x<sup>(n-2)</sup> y<sup>2</sup>+ ...+__x<sup>(n-n)</sup> y<sup>n</sup>.
Para sabermos os coeficientes deste binômio basta olhar, no triângulo de Pascal, a n-ésima linha e colocá-los na ordem em que se encontra.
Para isso, segue o seguinte exemplo:
<math>{\left(x + y\right)}^3 = x^3y^0 + 3x^2y^1 + 3x^1y^2 + x^0y^3</math>
Podemos ver que os coeficientes correspondem aos da linha 2 do triângulo de Pascal.
Neste exemplo podemos verificar que os coeficientes são, consecutivamente, os valores da linha 3 do triângulo de Pascal.
Sendo assim teríamos para cada linha do triângulo de Pascal um binômio<ref>{{Citar web|url=http://www.mathcentre.ac.uk/resources/uploaded/mc-ty-pascal-2009-1.pdf|titulo=Pascal’s triangle and
the binomial theorem|data=|acessodata=2018-12-05|obra=www.mathcentre.ac.uk|publicado=|ultimo=|primeiro=}}</ref>:
{| class="wikitable"
|'''n'''
|
|
|
|
|
|
|
|(x+y)<sup>n</sup>
|-
|'''0'''
|1
|
|
|
|
|
|
|1
|-
|'''1'''
|1
|1
|
|
|
|
|
|x+y
|-
|'''2'''
|1
|2
|1
|
|
|
|
|x<sup>2</sup>+2xy+y<sup>2</sup>
|-
|'''3'''
|1
|3
|3
|1
|
|
|
|x<sup>3</sup>+3x<sup>2</sup>y+3xy<sup>2</sup>+y<sup>3</sup>
|-
|'''4'''
|1
|4
|6
|4
|1
|
|
|x<sup>4</sup>+4x<sup>3</sup>y+6x<sup>2</sup>y<sup>2</sup>+4xy<sup>3</sup>+y<sup>4</sup>
|-
|'''5'''
|1
|5
|10
|10
|5
|1
|
|x<sup>5</sup>+5x<sup>4</sup>y+10x<sup>3</sup>y<sup>2</sup>+10x<sup>2</sup>y<sup>3</sup>+5xy<sup>4</sup>+y<sup>5</sup>
|-
|'''6'''
|1
|6
|15
|20
|15
|6
|1
|x<sup>6</sup>+6x<sup>5</sup>y+15x<sup>4</sup>y<sup>2</sup>+20x<sup>3</sup>y<sup>3</sup>+15x<sup>2</sup>y<sup>4</sup>+6xy<sup>5</sup>+y<sup>6</sup>
|}
== Demonstração do teorema do Binômio de Newton ==
| |||