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Polinômio característico: diferenças entre revisões

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+ref: Anton, Howard; Rorres, Chris (2012). Álgebra Linear com aplicações 10 ed. [S.l.]: Bookman. p. 297
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Em [[álgebra linear]], o '''polinômio característico''' de uma matriz <math>A_{n\times n}</math>'' '' ou de um [[operador linear]] ''<math>A \in L(V, V)</math>'' em um [[espaço vetorial]] <math>V</math> de dimensão finita <math>n</math> com base <math>C</math> é o [[polinômio]]:<ref>{{Citecitar booklivro|titletítulo=Advanced linear algebra |authorautor =Steven Roman |url=https://books.google.com/books?id=RWUPAQAAMAAJ&pg=PA137 |isbn=3540978372 |editionedição=2 |yearano=1992 |publisherpublicado=Springer |pagepágina=137}}</ref><ref>{{citar livro|url=https://books.google.com/books?id=WL4JBwAAQBAJ&pg=PA297|titulo=Álgebra Linear com aplicações|ultimo=Anton|primeiro=Howard|ultimo2=Rorres|primeiro2=Chris|editora=Bookman|ano=2012|edição=10|local=|pagina=297|acessodata=}}</ref><ref>Flávio Ulhoa Coelho; Mary Lilian Louenço. ''Um Curso De Álgebra Linear''. pag. 136</ref>
 
<math display="block">p_{A}(x) = \det[x I - A]_{C}</math>
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em que <math>\det</math> é o [[determinante]] e <math>I</math> é a [[matriz identidade]] <math>n\times n</math> (ou o operador identidade). Este é um [[polinômio mônico]] de grau <math>n,</math> ou seja, o coeficiente do termo de maior grau é <math>1.</math> Os [[valor próprio|autovalores]] de <math>A</math> são as raízes de seu polinômio característico.<ref name=":0">{{citar livro|título = Álgebra linear com aplicações|sobrenome = Kolman|nome = B.|edição = 9|local = |editora = LTC|ano = 2013|página = |isbn = 9788521622086}}</ref>
 
O polinômio minimal de um operador linear ''A'' em ''L(V, V)'' é o polinômio mônico ''m<sub>A</sub>(x)'' de menor grau tal que <math>m_{A}(A)(v)=0,</math> <math>\forall v \in V.</math>
 
==Motivação==
Uma [[matriz quadrada]] "A" é [[matriz singular|singular]] se, e somente se, 0 é um autovalor de A. Esta é, aliás, a principal técnica para descobrir se uma [[Matriz (matemática)|matriz]] é singular:
<math display="block">\det\left(\lambda I - A \right) = 0.</math>
Para uma [[Matriz (matemática)|matriz]] de ordem <math>n \times n</math>, o lado esquerdo desta [[equação]] é um [[polinômio]] de grau n na [[Variável (matemática)|variável]] λ, denominado ''polinômio característico'' de A.<ref name="simon">SIMON, Carl P., e BLUME, Lawrence. ''Matemática para Economistas''. Porto Alegre: Bookman, 2004, reimpressão 2008. ISBN 978-85-363-0307-9. Capítulo 23, página 585.</ref>.
 
Alguns autores definem o polinômio característico como <math>\det\left(A - \lambda I \right)</math>. Tal polinômio difere do que foi apresentado neste artigo por um sinal (−1)<sup>''n''</sup>, e isso não faz diferença para propriedades como a de ter os autovalores de ''A'' como raízes; no entanto, a definição deste artigo sempre produz um [[polinômio mônico]], enquanto que a definição alternativa só resulta em um polinômio mônico quando <math>n</math> é par.
Linha 39:
& =\lambda^2 - \left(a_{11}+a_{22}\right)\lambda + \left(a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21} \right) \\
& = \lambda^2 - \text{tr}(A)\lambda + \det(A)
\end{align},</math> em que <math>\text{tr}(A)</math> é o [[Traço (álgebra linear)|traço]] de <math>A.</math>
* Seja <math> \mho </math> uma matriz de ordem <math>3\times 3</math>dada por: <math display="block">\mho= \begin{bmatrix}
\mho_{11} & \mho_{12} & \mho_{13} \\
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<div class="references" style="-moz-column-count: 2; column-count: 2;">
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