Relação binária: diferenças entre revisões
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Acrescentei apenas alguns trechos onde foi possível acrescer informações, usei o material disponibilizado pelo meu Professor o qual solicitou o acrescimento de informações na definição. |
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[[Imagem:Relación binaria 12.svg|thumb|200px|Relação binária.]]
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Na [[matemática]] e na [[lógica]], uma '''relação binária''' ou '''2-[[aridade|ária]]''' é uma relação entre dois elementos, sendo um conjunto de pares ordenados. As relações binárias são comuns em muitas áreas da matemática para definir conceitos como por exemplos: "é múltiplo" e "maior que" da aritmética; "é congruente" da geometria; e outros.
==Definição==
Relação é uma comparação entre dois objetos tomados em uma ordem definida. Os objetos podem estar ou não relacionados de acordo com alguma regra, toda relação é um conjunto de pares ordenados onde o primeiro elemento pertence ao conjunto de partida e o segundo elemento pertence ao conjunto de chegada, diz '''Chiwiacowsky (2019).'''
Uma relação binária '''r''' sobre dois universos '''A''' e '''B''' é:
:<math>r\subseteq A\times B</math>
Em outras palavras, uma relação binária é definida como sendo um [[subconjunto]] do [[produto cartesiano]] entre os conjuntos '''A''' e conjunto '''B'''. Isto é, uma relação '''R''' é um conjunto de [[Par ordenado|pares ordenados]]. Um subconjunto de '''A x A''' pode ser chamado simplesmente de relação binária em '''A'''.
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*(a,b) ∈ ''R'': dizemos que “a é ''R-relacionado'' a b”, escrevendo ''aRb''.
*(a,b) <s>∈</s> ''R'': dizemos que “a não é ''R-relacionado'' a b”, escrevendo ''a<s>R</s>b''.
'''Endorrelação:''' Se R é uma relação de um conjunto A para si mesmo, do tipo R : A → A, então dizemos que R é uma “endorrelação” ou “auto-relação”, citou '''Chiwiacowsky (2019).'''
O '''domínio''' de uma relação ''R'' é o conjunto de todos os primeiros elementos de um par ordenado que pertence a ''R''. A '''imagem''' de ''R'' é o conjunto dos segundos elementos. No caso descrito acima, o domínio é um subconjunto de ''A'' e a imagem é um subconjunto de ''B''.
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Uma relação é dita um '''epimorfismo''' se ela é ''funcional'' e ''sobrejetora''.
Uma relação é dita um '''isomorfismo''' se ela é um '''monomorfismo''' e um '''epimorfismo'''.
De acordo com '''Chiwiacowsky (2019)''' ainda, se existe um isomorfismo entre dois conjuntos, podemos chamá-los de “conjuntos isomorfos”.
==Operações em relações binárias==
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Em um conjunto finito com ''n'' elementos existem 2<sup>n²</sup> relações binárias, das quais 2<sup>n²-n</sup> são reflexivas.
A matriz de uma relação reflexiva: a diagonal principal contém somente o valor verdadeiro (1). Grafo de uma relação reflexiva: em cada vértice do grafo deve haver um laço, Na matriz de uma relação irreflexiva a diagonal principal contém apenas o valor falso (0). Grafo de uma relação irreflexiva: em nenhum vértice do grafo pode haver um laço. diz '''Chiwiacowsky (2019).'''
===Simetria===
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Note que as propriedades de simetria e anti-simetria não são mutuamente excludentes. Por exemplo, a relação R = {(1,3), (3,1), (2,3)} não é nem simétrica nem anti-simétrica. Por outro lado, a relação R' = {(1,1), (2,2)} é simétrica e anti-simétrica.
Matriz de uma relação simétrica: a matriz é simétrica (MR = MT R ). Grafo de uma relação simétrica: entre dois vértices quaisquer, ou não existe aresta, ou existem duas arestas, uma em cada sentido, a matriz de uma relação anti-simétrica para qualquer célula verdadeira (1) em uma das metades da matriz, em relação à diagonal, a correspondente célula na outra metade é falsa (0). Grafo de uma relação anti-simétrica: entre dois vértices quaisquer, não há arestas nos dois sentidos, citou '''Chiwiacowsky (2019).'''
===Transitividade===
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'''Teorema''': a relação ''R'' é transitiva se e somente se , ''R''<sup>n</sup> ⊆ ''R'' para ''n'' ≥ 1. Ou 1<n.
De acordo com '''Chiwiacowsky (2019)''' matriz de uma relação transitiva: matricialmente não se verifica nenhuma estrutura específica. Grafo de uma relação transitiva: sempre que uma aresta ligar um vértice A a um vértice B e o vértice B a um vértice C, então deve haver uma aresta de A para C.
===Algumas outras propriedades===
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Uma relação que é ''reflexiva'', ''simétrica'' e ''transitiva'' é chamada de uma [[relação de equivalência]]. Uma relação que é ''reflexiva'', ''anti-simétrica'' e ''transitiva'' é chamada de [[ordem parcial]]. Uma ordem parcial que é total é chamada de [[relação de ordem total]] ou uma ordem linear ou uma chain. Uma ordem linear na qual todo conjunto não vazio tem um menor elemento é chamado bem ordenado.
Para que a relação inversa de uma função parcial seja também uma função parcial (relação funcional), ela deve ser uma função parcial injetora(cada elemento do conjunto de chegada está relacionado com, no máximo, um elemento do conjunto de partida), Para que a relação inversa de uma função seja também uma função (relação funcional e total), ela deve ser uma função bijetora (injetora(cada elemento do conjunto de chegada está relacionado com, no máximo, um elemento do conjunto de partida) + sobrejetora( todos os elementos do conjunto de chegada (imagem) devem estar relacionados a pelo menos um elemento do conjunto de partida (domínio))), diz '''Chiwiacowsky (2019).'''
Exemplo:
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