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Relação binária

noção na matemática
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Relação binária.
Relação binária.

Na matemática e na lógica, uma relação binária ou 2-ária é uma relação entre dois elementos, sendo um conjunto de pares ordenados. As relações binárias são comuns em muitas áreas da matemática para definir conceitos como por exemplos: "é múltiplo" e "maior que" da aritmética; "é congruente" da geometria; e outros.

Índice

DefiniçãoEditar

Relação é uma comparação entre dois objetos tomados em uma ordem definida. Os objetos podem estar ou não relacionados de acordo com alguma regra, toda relação é um conjunto de pares ordenados onde o primeiro elemento pertence ao conjunto de partida e o segundo elemento pertence ao conjunto de chegada, diz Chiwiacowsky (2019).

Uma relação binária r sobre dois universos A e B é:

 

Em outras palavras, uma relação binária é definida como sendo um subconjunto do produto cartesiano entre os conjuntos A e conjunto B. Isto é, uma relação R é um conjunto de pares ordenados. Um subconjunto de A x A pode ser chamado simplesmente de relação binária em A.

Suponha que R é uma relação de A para B. Então R é um conjunto de pares ordenados onde cada primeiro elemento pertence a A e cada segundo elemento pertence a B. Isto é, para cada par (a,b), aA e bB. Então exatamente uma das seguintes afirmativas é verdadeira:

  • (a,b) ∈ R: dizemos que “a é R-relacionado a b”, escrevendo aRb.
  • (a,b) R: dizemos que “a não é R-relacionado a b”, escrevendo aRb.

Endorrelação: Se R é uma relação de um conjunto A para si mesmo, do tipo R : A → A, então dizemos que R é uma “endorrelação” ou “auto-relação”, citou Chiwiacowsky (2019).

O domínio de uma relação R é o conjunto de todos os primeiros elementos de um par ordenado que pertence a R. A imagem de R é o conjunto dos segundos elementos. No caso descrito acima, o domínio é um subconjunto de A e a imagem é um subconjunto de B.

Exemplos:

  • Sejam A = {1, 2, 3} e B = { x, y, z} , e seja R = {(1,y), (1,z), (3,y)}. Então R é uma relação de A para B, uma vez que R é um subconjunto de A x B. Com respeito a esta relação, 1Ry, 1Rz, 3Ry, mas 1Rx, 2Rx, 2Ry, 2Rz, 3Rx, 3Rz. O domínio de R é {1.3} e a imagem é {y.z}.
  • Seja A um conjunto qualquer. Uma relação importante em A é a relação de igualdade, {(a,a); a ∈ A}, que é usualmente denotada por =. Essa relação é também chamada de identidade ou relação diagonal em A e será também denotado por δ.

Outra definiçãoEditar

Uma relação binária R também pode ser definida como um trio ordenado (A, B, G) onde A e B são conjuntos arbitrários, e G é um subconjunto do produto cartesiano A×B. Os conjuntos A e B são chamados de domínio e codomínio da relação, respectivamente, e G é chamado de grafo.

A Relação final corresponde a visualizar R como uma Função indicadora do conjunto de pares G. A ordem de cada par de G é importante: se a ? b, então aRb pode ser verdadeiro ou falso independentemente de bRa o ser.

ExemplosEditar

  • Numa relação P definida por:
 

ou seja, P = {(2,0), (1, 1), (0, 2)}, P(0,2) é verdadeiro, já P(-1,3) é falso;

  • Suponha que existam 4 objetos: {carro, bola, boneca, bala} e quatro pessoas {João, Maria, Marcos, Pedro}.
Suponha que João tem a bola, Maria tem a boneca, e Pedro tem o carro. Ninguém tem a bala e Marcos não tem nada.
Então a relação binária R "pertence a" é dada como R = ({bola, carro, boneca, bala}, {João, Maria, Marcos, Pedro}, {(bola, João), (boneca, Maria), (carro, Pedro)}).

Tipos de relações bináriasEditar

Dada uma relação R ⊆ A×B, podemos classificá-la como:

  • Relação total
 

Ou seja, todo elemento de A se relaciona com algum de B.

  • Relação sobrejetora
 

É o inverso da total, todo elemento de B é relacionado com algum de A.

  • Relação funcional
 

Ou seja, um elemento de A não pode se relacionar com mais de um elemento de B.

  • Relação injetora:
 

O contrário da funcional: um elemento de B não pode ser relacionado com dois ou mais elementos de A diferentes.

Uma relação é dita um monomorfismo se ela é total e injetora. Uma relação é dita um epimorfismo se ela é funcional e sobrejetora. Uma relação é dita um isomorfismo se ela é um monomorfismo e um epimorfismo.

De acordo com Chiwiacowsky (2019) ainda, se existe um isomorfismo entre dois conjuntos, podemos chamá-los de “conjuntos isomorfos”.

Operações em relações bináriasEditar

Relações inversasEditar

Seja R uma relação qualquer A×B. A inversa de R, denotada por R−1, é a relação de B×A consiste nos pares ordenados que, quando têm sua ordem revertida, pertencem a R, isto é,

 

Por exemplo, a inversa da relação R = {(1, y), (1, z), (3, y)} é a seguinte: R−1 = {(y, 1), (z, 1), (y, 3)}.

Claramente, (R−1)−1 = R. Além disso o domínio e a imagem de R−1 são, respectivamente, iguais à imagem e ao domínio de R. Ademais, se R é uma relação em A, então R−1 também é uma relação em A.

Composição de relaçõesEditar

Relacionar elementos de A com elementos de B é destacar um subconjunto de AxB. Dadas R1A×B e R2B×C:

A composição das relações R1 com R2, denotado por R2R1, é a relação

{(a,c): (∃b ∈B), com (a,b) ∈ R1 e (b,c) ∈ R2} ⊆ A×C

Exemplo: Sejam os conjuntos

A = {a, b, c}; B = {c, d, e} e C = {a, e}; e as relações R1 = {(a,c), (a,e), (b,c), (c,d)} e R2 = {(c,a), (d,a), (d,e), (e,e)}.

Então R2R1 = {(a,a), (a,e), (b,a), (c,a). (c,e)}.

Propriedades das relaçõesEditar

Dada uma relação binária R sobre um conjunto A.

Considere a serviço de exemplo as seguintes cinco relações em um conjunto A = { 1, 2, 3, 4}:

R1 = {(1,1), (1,2), (2,3), (1,3), (4,4)};
R2 = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,3), (4,4)};
R3 = {(1,3), (2,1)};
R4 = ∅, a relação vazia;
R5 = A×A, a relação universal.

ReflexividadeEditar

A relação R é dita reflexiva se todos os elementos se relacionam com si próprios.

Uma relação é irreflexiva se nenhum elemento se relaciona com si próprio.

Exemplos:

  • A relação "ter o mesmo pai que" é reflexiva (pois todo mundo é filho de seu próprio pai).
  • A relação "ser irmão de" é irreflexiva (pois ninguém é irmão de si próprio).

Dos exemplos citados, como A contém os quatro elementos, 1, 2, 3 e 4, uma relação R em A é reflexiva se contém os quatro pares (1,1), (2.2), (3.3), (4,4). Portanto, apenas R2 e a relação universal R5 são reflexivas. Note que R1 , R3 e R4 não são reflexivas, uma vez que, por exemplo, (2,2) não pertence a nenhuma delas.

Formalmente, a relação R é dita reflexiva se aRa para todo aA, isto é, se (a,a) ∈ R para todo aA.

Em um conjunto finito com n elementos existem 2 relações binárias, das quais 2n²-n são reflexivas.

A matriz de uma relação reflexiva: a diagonal principal contém somente o valor verdadeiro (1). Grafo de uma relação reflexiva: em cada vértice do grafo deve haver um laço, Na matriz de uma relação irreflexiva a diagonal principal contém apenas o valor falso (0). Grafo de uma relação irreflexiva: em nenhum vértice do grafo pode haver um laço. diz Chiwiacowsky (2019).

SimetriaEditar

Uma relação binária é simétrica se a relação de a com b implica a relação de b com a.

Exemplo: A relação "a é irmão de b" é simétrica, pois, se a é irmão de b, então b é irmão de a.

Formalmente, uma relação binária é simétrica se qualquer aRb implica bRa. Em um conjunto finito com n elementos, há   relações simétricas.

R1 não é simétrica já que (1,2) ∈ R1 mas (2,1) ∉ R1. R3 não é simétrica já que (1,3) ∈ R3 mas (3,1) ∉ R3 . As outras relações são simétricas.

Uma relação anti-simétrica é tal que se aRb e bRa então a=b. Assimétrica é uma relação em que aRb implica que não bRa.

R2 não é anti-simétrica, já que (1,2) e (2,1) pertencem a R2 , mas 1 ≠ 2. Analogamente, a relação universal R5 não é anti-simétrica. Todas as outras são anti-simétricas.

Note que as propriedades de simetria e anti-simetria não são mutuamente excludentes. Por exemplo, a relação R = {(1,3), (3,1), (2,3)} não é nem simétrica nem anti-simétrica. Por outro lado, a relação R' = {(1,1), (2,2)} é simétrica e anti-simétrica.

Matriz de uma relação simétrica: a matriz é simétrica (MR = MT R ). Grafo de uma relação simétrica: entre dois vértices quaisquer, ou não existe aresta, ou existem duas arestas, uma em cada sentido, a matriz de uma relação anti-simétrica para qualquer célula verdadeira (1) em uma das metades da matriz, em relação à diagonal, a correspondente célula na outra metade é falsa (0). Grafo de uma relação anti-simétrica: entre dois vértices quaisquer, não há arestas nos dois sentidos, citou Chiwiacowsky (2019).

TransitividadeEditar

Em uma relação transitiva, se a implica b, e b implica c, então a implica c.

Exemplo: Se a é irmão de b, e b é irmão de c, então a é irmão de c.

Formalmente, uma relação é dita transitiva se aRb e bRc implicam aRc. A relação se diz antitransitiva quando aRb e bRc implicam que não é verdade aRc.

A relação R3 não é transitiva porque (2,1) e (1,3) ∈ R3, mas (2,3) ∉ R3 . Todas as outras relações são transitivas.

A propriedade de transitividade também pode ser expressa em termos da composição de relações. Para uma relação R em A, definimos R² = R⋅R e, mais geralmente, Rn = Rn-1⋅R.

Teorema: a relação R é transitiva se e somente se , RnR para n ≥ 1. Ou 1<n.

De acordo com Chiwiacowsky (2019) matriz de uma relação transitiva: matricialmente não se verifica nenhuma estrutura específica. Grafo de uma relação transitiva: sempre que uma aresta ligar um vértice A a um vértice B e o vértice B a um vértice C, então deve haver uma aresta de A para C.

Algumas outras propriedadesEditar

  • Relação total (ou linear): para todo a e b em A é verdade que aRb ou bRa (ou ambos).
  • Relação euclidiana: para todo a, b e c em A, é verdade que se aRb e aRc então bRc.
  • Relação extensível (ou serial): para todo a em A, existe um b em A tal que aR~;/çb. "Maior que” é uma relação extensível nos inteiros. Mas não é um relação extensível nos inteiros positivos, porque não existe um x nos inteiros positivos tal que 1>x.

Uma relação R que é simétrica e anti-simétrica ao mesmo tempo tem a propriedade que se xRy então x = y. Em um conjunto finito com n elementos existem apenas   dessa relação.

Uma relação que é simétrica, transitiva e extensível é também reflexiva

Uma relação que é reflexiva, simétrica e transitiva é chamada de uma relação de equivalência. Uma relação que é reflexiva, anti-simétrica e transitiva é chamada de ordem parcial. Uma ordem parcial que é total é chamada de relação de ordem total ou uma ordem linear ou uma chain. Uma ordem linear na qual todo conjunto não vazio tem um menor elemento é chamado bem ordenado.

Para que a relação inversa de uma função parcial seja também uma função parcial (relação funcional), ela deve ser uma função parcial injetora(cada elemento do conjunto de chegada está relacionado com, no máximo, um elemento do conjunto de partida), Para que a relação inversa de uma função seja também uma função (relação funcional e total), ela deve ser uma função bijetora (injetora(cada elemento do conjunto de chegada está relacionado com, no máximo, um elemento do conjunto de partida) + sobrejetora( todos os elementos do conjunto de chegada (imagem) devem estar relacionados a pelo menos um elemento do conjunto de partida (domínio))), diz Chiwiacowsky (2019).

Exemplo:

Seja Z* o conjunto dos inteiros não nulos e seja a relação em Z*×Z* definida por (a,b)≡(c,d) sempre que ad = bc. Demonstra-se que ≡ é uma relação de equivalência:

  1. Reflexividade: temos (a,b)≡(a,b), já que ab = ba. Portanto, ≡ é reflexiva.
  2. Simetria: temos (a,b)≡(c,d). Então ad = bc. Por conseguinte, cb = da e, portanto, (a,b)≡(c,d). Assim, ≡ é simétrica.
  3. Transitividade: suponha (a,b)≡(c,d) e (c,d)≡(e,f). Então, ad = bc e cf = de. A multiplicação dos termos correspondentes da equação leva a (ad)(cf) = (bc)(de). Cancelando c ≠ 0 e d ≠ 0 dos dois lados da equação, obtém-se af = be, e portanto (a,b)≡(e,f). Logo, ≡ é transitiva.

Consequentemente, ≡ é uma relação de equivalência.

Obs.: Do ponto de vista gráfico, uma relação é reflexiva se para todo vértice existir uma aresta ligando-o a ele mesmo. A estas arestas dá-se o nome de lacetes. A relação será simétrica se sempre que ao existir uma aresta de a para b também exista uma aresta de b para a e será transitiva sempre que ao existir uma aresta da a para b e outra de b para c, também exista uma aresta de a para c.

BibliografiaEditar

Ver tambémEditar