Limite de uma sequência: diferenças entre revisões
Conteúdo apagado Conteúdo adicionado
Inserção de conteúdo: Exemplo, Nova definição formal, Resultados do Limite, Propriedades aritméticas do limite, Limites Infinitos, Critério de Convergência de Cauchy |
|||
Linha 11:
: <math>\forall \epsilon>0\; \exist n_0 \in \mathbb{N}: n>n_0 \Rightarrow d(x_n,L)<\epsilon.\; </math>
: i.e.: se, e somente se, para todo número real <math>\epsilon>0\;</math>, existe um [[número natural]] <math>n_0</math> tal que para cada <math>n>n_0\;</math> tem-se <math>d(x_n,L)<\epsilon.\;</math>
: i.e: dado <math> \epsilon > 0 </math>, existe N tal que <math> n>N \Rightarrow |a_n - L| < \epsilon \Rightarrow L - \epsilon < a_n < L + \epsilon </math><ref name=":2">{{citar livro|título = Introdução à análise matemática|sobrenome = Ávila|nome = Geraldo Severo de Souza|edição = 2.|local = São Paulo|editora = Blucher|ano = 1999|página = |isbn = 9788521201687}}</ref>
* Uma generalização desta relação, para uma sequência de pontos <math>\{x_n|n\in \mathbb{N}\}\;</math> em um [[espaço topológico]] <math>T</math>:
Linha 26 ⟶ 27:
== Exemplos ==
* A sequência (1/1, 1/2, 1/3, 1/4,
* A sequência (1, -1, 1, -1, 1,
* A sequência (1/2, 1/2 + 1/4, 1/2 + 1/4 + 1/8, 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16,
* Se ''a'' é um número real com [[valor absoluto]] |''a''| < 1, então a sequência ''a<sup>n</sup>'' possui limite 0. Se 0 < ''a'' ≤ 1, então a sequência ''a''<sup>1/''n''</sup> possui limite 1.
* Também:
Linha 35 ⟶ 36:
: <math>\lim_{n\to\infty} n^{\frac{1}{n}} = 1</math>
: <math>\lim_{n\to\infty} a^{\frac{1}{n}} = 1 \hbox{ se } a>0</math>
Realizando um processo mais detalhado, vamos verificar que o limite de <math>a_n = \frac{3n^2 + 4n}{n^2 + n -4}</math> é 3.
Dado <math> \epsilon > 0 </math>
<math> |{\frac{3n^2 + 4n}{n^2 + n -4} - 3}| = |\frac{3n^2 + 4n-3n^2 - 3n + 12}{n^2 + n -4}|= |\frac{n + 12}{n^2 + n -4}| \le |\frac{n + 12}{n^2 - 4}| </math>
Perceba que <math> \frac{1}{2} n^2 > 4 \Rightarrow n > \sqrt{8} \Rightarrow n > 3 </math>, pois n é natural. Logo:
<math> |\frac{n + 12}{n^2 - 4}| \le |\frac{n + 12}{n^2 - \frac{1}{2} n^2}| = |\frac{2n + 24}{n^2}| \le |\frac{2n + 24n}{n^2}| = |\frac{26n}{n^2}| = |\frac{26}{n}| < \epsilon \Rightarrow n > \frac{26}{\epsilon} </math>
desde que <math> n > max \{3; \frac{26}{\epsilon}\} </math>, comprovando o limite.
Com isso, podemos afirmar que, dado <math> \epsilon > 0 </math>, existe <math>N = max \{3; \frac{26}{\epsilon}\}</math>, tal que:
<math> n> max \{3; \frac{26}{\epsilon}\} \Rightarrow |{\frac{3n^2 + 4n}{n^2 + n -4} - 3}| < \epsilon </math>
==Resultados do limite==
Os limites de sequências possuem os seguintes resultados<ref name=":1">{{citar livro|título = Curso de Análise 1|sobrenome = Lima|nome = Elon Lages|edição = 14.|local = Rio de Janeiro|editora = IMPA|ano = 2014|página = |isbn = 9788524401183}}</ref>:
Todo limite de uma sequência é um valor único, ou seja, se <math> a_n </math> tem limite para um número real A e, também, um número real B, então <math>A=B</math>.
Se uma sequência <math> a_n </math> tende a L, então toda subsequência de <math> a_n </math> convergirá para esse mesmo número L.
Toda sequência convergente é [[Sequência#Sequência_limitada|limitada]]
Toda sequência monótona e limitada converge. Disso, também podemos afirmar que se uma subsequência de <math> a_n </math>, sendo <math> a_n </math> monótona, converge para L, então <math> a_n </math> é convergente.
Se uma sequência tem um limite positivo, é garantido que, a partir de uma certa ordem, seus termos são positivos. O mesmo é válido para um limite negativo, onde a partir de uma ordem o termo será negativo.
Dadas duas sequências <math>a_{n}</math> e <math> b_{n} </math> convergentes. Assim, se <math>a_{n} \ge b_{n}</math>, para qualquer ordem n, <math>lim (a_{n}) \ge lim (b_{n}) </math>. A mesma relação vale para uma constante qualquer.
Dadas as sequências <math> a_{n} \le b_{n} \le c_{n} </math>, para todos os termos. Se o limite de <math>a_{n}</math> e <math>c_{n}</math> são iguais a L, temos que o limite de <math>b_{n}</math> é L
=== Teorema de Bolzano-Weierstrass ===
{{AP|Teorema de Bolzano-Weierstrass}}
Toda sequência que é limitada possui uma subsequência convergente.<ref name=":2"/>
=== Limite superior e limite inferior ===
{{AP|Limite superior e limite inferior}}
Se uma subsequência de uma sequência possui como limite um valor L, dizemos que L é um ponto de aderência, ou valor de aderência, ou ponto aderente.<ref name=":2"/>
O maior desses pontos aderentes é o limite superior (<math> \lim_{n \rightarrow \infty} inf_{j \le n}a_j = \underline{lim}(a_j)</math>). Analogamente, o menor é o limite inferior (<math> \lim_{n \rightarrow \infty} sup_{j \le n}a_j = \overline{lim}(a_j)</math>).
Toda sequência limitada <math>(a_n)</math> possui um ponto aderente máximo A (o maior limite de uma subsequência) e um ponto aderente mínimo a (o menor limite de uma subsequência), onde:
* Qualquer que seja <math>\epsilon > 0</math>, existem infinitos índices n tais que <math>A - \epsilon < a_n</math> e somente um número finito com <math>A + \epsilon < a_n</math>;
* Qualquer que seja <math>\epsilon > 0</math>, existem infinitos índices n tais que <math>a_n < a + \epsilon</math> e somente um número finito com <math>a_n < a - \epsilon</math>
Da mesma forma, é garantido que uma sequência limitada <math>(a_n)</math> converge para L se, e somente se, os limites superior e inferior são iguais a L.
Um exemplo para verificarmos os limites superiores e inferiores é a sequência <math> a_n=(-1)^n </math>
<math> a_n = (-1,1,-1,1,-1,1,-1,...) </math>
Vamos definir as subsequências:
<math>a_{2n-1} = (-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,...) \Rightarrow lim(a_{2n-1})=-1</math> , logo -1 é ponto de aderência e, ao ser o menor, é o limite inferior.
<math>a_{2n} = (1,1,1,1,1,1,1,1,...) \Rightarrow lim(a_{2n})=1</math>, logo 1 é ponto de aderência e, ao ser o maior, é o limite superior.
== Propriedades aritméticas do limite ==
Dadas duas sequências convergentes <math> (x_{n}) </math> e <math> (y_{n}) </math>, onde <math>lim (x_n) = X</math> e <math>lim (y_n) = Y </math><ref name=":2"/>. Logo, as sequências <math> (x_n + y_n), (x_{n}y_{n}), (k \cdot x_{n}) </math> são convergentes, sendo k um número real qualquer.
Podemos também afirmar que:
# <math> lim (x_n + y_n) = lim x_n + lim y_n = X + Y </math>;
# <math> lim (k \cdot x_{n}) = k \cdot lim x_n = k \cdot X </math>. Caso <math> k = -1 </math>, temos que: <math> x_n \rightarrow X \Rightarrow -x_n \rightarrow -x </math>
# <math> lim (x_{n}y_{n}) = lim (x_n) \cdot lim (y_n) = X \cdot Y </math>
# Caso <math> y_n \ne 0 </math>, podemos também afirmar que <math>lim (\frac{x_{n}}{y_{n}}) = \frac{lim (x_n)}{lim (y_n)} = \frac{X}{Y} </math>
== Limites infinitos ==
Quando uma sequência segue uma regularidade de comportamento de tal forma que o termo se torna arbitrariamente grande enquanto aumenta o índice, temos que a sequência diverge para infinito positivo. Quando se torna muito pequeno enquanto aumenta o índice, a sequência diverge para infinito negativo.<ref name=":2"/>
Uma sequência <math>x_n</math> diverge para <math>+\infty</math> se, dado <math>k>0</math>, existe N tal que <math>n>N \Rightarrow x_n>k</math>. Ao divergir para <math>-\infty</math> temos que, dado <math>k<0</math>, existe N tal que <math>n>N \Rightarrow x_n<k</math>.
Os limites infinitos também possuem propriedades aritméticas:
# <math>a_n \rightarrow +\infty \Leftrightarrow -a_n \rightarrow -\infty </math>.
# Sendo <math>a_n</math> uma sequência não limitada e monótona. Se não decrescente, ela tende a <math>+\infty</math> e sendo não crescente tende a <math>-\infty</math>.
# <math>lim(a_n)=\pm\infty \Rightarrow \frac{1}{a_n} \rightarrow 0 </math>.
# <math>lim(a_n)=0 \Rightarrow \frac{1}{a_n} \rightarrow \pm\infty </math> se <math>a_n > 0 </math> ou <math>a_n < 0</math> respectivamente.
# Dado <math>a_n \rightarrow \pm\infty </math> e <math>b_n</math> limitada, então <math>(a_n+b_n) \rightarrow \pm\infty </math>, respectivamente.
# Se <math>a_n \rightarrow \pm\infty </math> e <math>b_n \ge c </math>, com c um número positivo, então <math>a_n b_n \rightarrow \pm \infty </math>.
# Se <math>a_n \rightarrow \pm\infty </math> e <math>b_n \le c < 0 </math>, com c um número positivo, então <math>a_n b_n \rightarrow \mp \infty </math>.
# Se <math>a_n \rightarrow +\infty </math> e <math>a_n \le b_n </math>, então <math>b_n \rightarrow +\infty </math>.
==Critério de convergência de Cauchy==
O critério de convergência de Cauchy auxilia em perceber se uma sequência é convergente sem conhecer o limite. Temos que se um sequência é convergente se, e somente se, qualquer que seja <math>\epsilon > 0</math>, existe N tal que:
<math>n,m > N \Rightarrow |a_n - a_m| < \epsilon </math>
Da mesma forma, podemos dizer que dado <math>\epsilon > 0</math>, existe um índice N tal que, para todo inteiro positivo p,
<math>n,m > N \Rightarrow |a_n - a_{n+p}| < \epsilon </math>
== Ver também ==
* [[Sequências de Números Reais|Sequência de números reais]]
* [[Sequência]]
* [[Limite_superior_e_limite_inferior|Limite superior e limite inferior]]
* [[Teorema_de_Bolzano-Weierstrass|Teorema de Bolzano-Weierstrass]]
{{esboço-matemática}}
{{Portal3|Matemática}}
| |||