Norma (matemática): diferenças entre revisões

==Definição==

Dado um [[espaço vetorial]] <math>X</math> sobre o corpo <math>\mathbb{K}</math> dos [[números reais]] ou [[números complexos|complexos]], uma função <math>\| \cdot \|: X \to \mathbb{R}^{+}</math> é chamada de norma se, para quaisquer <math>\vec x, \vec y \in X </math> e todo <math>\alpha \in \mathbb{K}:</math> <ref>SANTOS (2010), p.3, ex. 54.</ref>

*<math>\|\alpha \vec x\|=|\alpha| \|\vec x\|</math>

 

Se o [[espaço vetorial]] <math>X</math> tem uma '''norma''', ele passa a ser chamado de [[espaço normado]], e denotado por <math>\left(X, \| \cdot \|\right).</math>

 

==Normas equivalentes==

 

Quando duas normas são equivalentes, elas induzem a mesma topologia.

 

==Normas em espaços de dimensão finita==

 

As normas canônicas definidas nestes espaços são as chamadas '''normas <math>\ell^p</math>''':

O caso particular em que <math>p = 2</math> corresponde à norma [[espaço euclidiano|euclidiana]]:

 

Outras normas podem ainda ser definidas, no entanto, pode-se demonstrar que todas elas serão equivalentes.

{{artigo principal|Norma matricial}}

Se o espaço vetorial considerado é aquele formado pelas matrizes reais ou complexas de ordem <math>n\times m,</math> denotado por <math>M^{n\times m},</math> uma norma sobre esse espaço é chamada de norma matricial. Um exemplo de norma matricial é a norma ''1'', denotada <math>\|.\|_1</math> definida como o máximo da soma módulo das entradas de cada linha, ou seja se <math>A = \left[ a_{ij} \right]_{r \times s}</math> então a norma 1 da matriz <math>A</math> é o número não negativo dado por<ref>{{citar livro |sobrenome=Golub |nome=Gene |coautores=Van Loan, Charles F. |título=Matrix Computations |editora=The Johns Hopkins University Press |local=Baltimore |isbn=080185413X |página=56 |edição=3 |autorlink=Gene Golub}}</ref>

 

A norma 1 da matriz <math>A = \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 2 & -1 \end{vmatrix},</math> por exemplo, é<ref>Boldrini ''et. al'', p. 342.</ref>