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Norma (matemática)

função que associa um número ou comprimento não negativo a cada vetor de um espaço vetorial
Uma circunferência centrada na origem de relativa a três normas distintas

Em matemática, uma norma consiste em uma função que a cada vetor de um espaço vetorial associa um número real não-negativo. O conceito de norma está intuitivamente relacionado à noção geométrica de comprimento.

DefiniçãoEditar

Dado um espaço vetorial   sobre o corpo   dos números reais ou complexos, uma função   é chamada de norma se, para quaisquer   e todo   [1]

  •   Se esta condição não for atendida, a função será no máximo uma seminorma.
  •  
  •   (desigualdade triangular)

Se o espaço vetorial   tem uma norma, ele passa a ser chamado de espaço normado, e denotado por  

Métrica e topologia induzidaEditar

Toda norma induz de forma natural uma métrica   em   cujos valores são dados por:[2]

 

Também induz uma topologia localmente convexa que é gerada por todas as bolas:

 

Normas equivalentesEditar

Duas normas   e   sobre o mesmo espaço vetorial   são ditas equivalentes se existirem constantes reais positivas   e   tais que:

 

Quando duas normas são equivalentes, elas induzem a mesma topologia.

Normas em espaços de dimensão finitaEditar

Seja   a representação de um vetor em   ou  

As normas canônicas definidas nestes espaços são as chamadas normas  :

  •  
  •  

O caso particular em que   corresponde à norma euclidiana:

 

Outras normas podem ainda ser definidas, no entanto, pode-se demonstrar que todas elas serão equivalentes.

Norma matricialEditar

 Ver artigo principal: Norma matricial

Se o espaço vetorial considerado é aquele formado pelas matrizes reais ou complexas de ordem   denotado por   uma norma sobre esse espaço é chamada de norma matricial. Um exemplo de norma matricial é a norma 1, denotada   definida como o máximo da soma módulo das entradas de cada linha, ou seja se   então a norma 1 da matriz   é o número não negativo dado por[3]

 

A norma 1 da matriz   por exemplo, é[4]

 

Normas em espaços de dimensão infinitaEditar

Espaços LPEditar

 Ver artigo principal: Espaço Lp

As normas   têm análogos em alguns espaços de dimensão infinita.

NotasEditar

  1. SANTOS (2010), p.3, ex. 54.
  2. SANTOS (2010), p.60.
  3. Golub, Gene; Van Loan, Charles F. Matrix Computations 3 ed. Baltimore: The Johns Hopkins University Press. p. 56. ISBN 080185413X 
  4. Boldrini et. al, p. 342.

ReferênciasEditar

  • SANTOS, José Carlos. Introdução à Topologia. Departamento de Matemática - Faculdade de Ciências da Universidade do Porto. Junho de 2010, 171 páginas. Disponível em: <http://www.fc.up.pt/mp/jcsantos/PDF/Topologia.pdf>. Acesso em: 12 jan. 2010. Página 60.
  • Boldrini, José Luiz et. al. Álgebra Linear 3ª ed. [S.l.]: Harbra. p. 342 

Ver tambémEditar