Modelo de viga de Timoshenko-Ehrenfest: diferenças entre revisões
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O efeito da inércia rotativa foi primeiramente estudado por Bresse<ref>Bresse J.A.C.,1859, Cours de mécanique appliquée – Résistance des matériaux et stabilité des constructions, Paris, Gauthier-Villars(in French)</ref> e Rayleigh.<ref>Rayleigh Lord (J. W. S. Strutt),1877-1878, The Theory of Sound, London: Macmillan (see also Dover, New York, 1945)</ref>
Se o [[módulo de cisalhamento]] do material tende a infinito (material rígido ao cisalhamento, deformações cisalhantes tendem a zero) e se os efeitos da inércia rotacional são desprezíveis, o modelo de Timoshenko converge ao [[modelo de viga de Euler-Bernoulli]].
[[Imagem:Plate_theory.svg|miniaturadaimagem| Deformação de um raio de Timoshenko. O normal gira em uma quantidade <math>\theta_x = \varphi(x)</math> que não é igual a <math>dw/dx</math> ]]▼
== Modelo quasistático ==
[[Ficheiro:TimoshenkoBeam.svg|miniaturadaimagem| Deformação de uma viga de Timoshenko (azul) comparada a uma viga de Euler-Bernoulli (vermelho).]]
▲[[
No modelo [[estática|estático]] de viga de Timoshenko sem efeitos axiais, os deslocamentos de cada ponto do corpo de coordenadas <math>(x,y,z)</math> são dados por:
:<math>
u_x(x,y,z) = -z~\varphi(x) ~;~~ u_y(x,y,z) = 0 ~;~~ u_z(x,y,z) = w(x)
</math>
onde <math>u_x, u_y, u_z</math> são as componentes do vetor de deslocamento, <math>\varphi</math> é o ângulo de rotação da seção transversal da viga em relação à normal da curva neutra, e <math>w</math> é o deslocamento da curva neutra na direção <math>z</math>.
Com essas hipóteses, a deformação da viga é descrita por duas [[equação diferencial ordinária|equações diferenciais ordinárias]]:
:<math>
\begin{align}
& \frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d} x^2}\left(EI\frac{\mathrm{d} \varphi}{\mathrm{d} x}\right) = q(x) \\
& \frac{\mathrm{d} w}{\mathrm{d} x} = \varphi - \frac{1}{\kappa AG} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left(EI\frac{\mathrm{d} \varphi}{\mathrm{d} x}\right).
\end{align}
</math>
onde
* <math>A</math> é a área da seção transversal;
* <math>E</math> é o [[módulo de Young]];
* <math>G</math> é o [[módulo de cisalhamento]];
* <math>I</math> é o [[Momento de inércia de área|segundo momento de área]];
* <math>\kappa</math>, chamado de coeficiente de Timoshenko, depende da geometria da viga;
* <math>q(x)</math> é a carga distribuída (força por comprimento).
== Modelo dinâmico ==
No modelo [[dinâmica|dinâmico]] de viga de Timoshenko sem efeitos axiais, os deslocamentos de cada ponto do corpo de coordenadas <math>(x,y,z)</math> são dados por
:<math>
u_x(x,y,z,t) = -z~\varphi(x,t) ~;~~ u_y(x,y,z,t) = 0 ~;~~ u_z(x,y,z,t) = w(x,t)
</math>
onde <math>u_x, u_y, u_z</math> são as componentes do vetor de deslocamento, <math>\varphi</math> é o ângulo de rotação da seção transversal da viga em relação à normal da curva neutra, e <math>w</math> é o deslocamento da curva neutra na direção <math>z</math>.
Partindo dessas hipóteses, o movimento da viga pode ser descrito pelas [[equação diferencial parcial|equações diferenciais parciais]]:<ref>[http://ccrma.stanford.edu/~bilbao/master/node163.html Timoshenko's Beam Equations<!-- Bot generated title -->]</ref>
:<math>
\rho A\frac{\partial^{2}w}{\partial t^{2}} - q(x,t) = \frac{\partial}{\partial x}\left[ \kappa AG \left(\frac{\partial w}{\partial x}-\varphi\right)\right]
</math>
:<math>
\rho I\frac{\partial^{2}\varphi}{\partial t^{2}} = \frac{\partial}{\partial x}\left(EI\frac{\partial \varphi}{\partial x}\right)+\kappa AG\left(\frac{\partial w}{\partial x}-\varphi\right)
</math>
onde
* <math>\rho</math> é a [[densidade]] do material (mas não a [[densidade linear]]);
* <math>A</math> é a área da seção transversal;
* <math>E</math> é o [[módulo de Young]];
* <math>G</math> é o [[módulo de cisalhamento]];
* <math>I</math> é o [[Momento de inércia de área|segundo momento de área]];
* <math>\kappa</math>, chamado de coeficiente de Timoshenko, depende da geometria da viga;
* <math>q(x,t)</math> é a carga distribuída (força por comprimento).
{{Referências}}
[[Categoria:
[[Categoria:Mecânica dos meios contínuos]]
[[Categoria:Equações diferenciais]]
[[Categoria:Engenharia estrutural]]
[[Categoria:Análise de estruturas]]
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