Relação binária: diferenças entre revisões
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==Propriedades das relações binárias==
Dada uma relação binária ''R'' sobre um conjunto ''A''.
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===Simetria===
==== Relação binária simétrica ====
Uma relação binária é '''simétrica''' se a relação de ''a'' com ''b'' implica a relação de ''b'' com ''a''.▼
Uma relação binária é '''simétrica''' se a relação de ''a'' com ''b'' implica a relação de ''b'' com ''a''<ref>{{citar web |ultimo= |primeiro= |url=http://web.stanford.edu/class/archive/cs/cs103/cs103.1152/lectures/12/Small12.pdf |titulo=Binary relations |data= |acessodata=16/08/2020 |publicado=Stanford University}}</ref>.
Exemplo: A relação "''a'' é irmão de ''b''" é simétrica, pois, se ''a'' é irmão de ''b'', então ''b'' é irmão de ''a''.
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As outras relações são simétricas.
==== Relação binária anti-simétrica ====
''R''<sub>2</sub> não é anti-simétrica, já que (1,2) e (2,1) pertencem a ''R''<sub>2</sub> , mas 1 ≠ 2. Analogamente, a relação universal ''R''<sub>5</sub> não é anti-simétrica. Todas as outras são anti-simétricas.▼
▲Uma relação
''R''<sub>2</sub> não é anti-simétrica, já que (1,2) e (2,1) pertencem a ''R''<sub>2</sub> , mas 1 ≠ 2.
Note que as propriedades de simetria e anti-simetria não são mutuamente excludentes. Por exemplo, a relação R = {(1,3), (3,1), (2,3)} não é nem simétrica nem anti-simétrica. Por outro lado, a relação R' = {(1,1), (2,2)} é simétrica e anti-simétrica.▼
==== Relação binária assimétrica ====
'''Assimétrica''' é uma relação em que ''aRb'' implica que não ''bRa''.
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▲* Note que as propriedades de simetria e anti-simetria não são mutuamente excludentes. Por exemplo, a relação R = {(1,3), (3,1), (2,3)} não é nem simétrica nem anti-simétrica. Por outro lado, a relação R' = {(1,1), (2,2)} é simétrica e anti-simétrica.
* Uma relação ''R'' que é ''simétrica'' e ''anti-simétrica'' ao mesmo tempo tem a propriedade que se ''xRy'' então ''x = y''. Em um conjunto finito com ''n'' elementos existem apenas <math>2^n</math> dessa relação.
===Transitividade===
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===Algumas outras propriedades===
* '''Relação total''' (ou '''linear,''' ou '''completa'''<ref>{{citar web |ultimo=Walker |primeiro=Mark |url=http://www.u.arizona.edu/~mwalker/econ519/Econ519LectureNotes/BinaryRelations.pdf |titulo=Binary reflexions |data= |acessodata=16/08/2020 |publicado=University of Arizona}}</ref>): para todo ''a'' e ''b'' em ''A'' é verdade que ''aRb'' ou ''bRa'' (ou ambos).
* '''Relação euclidiana''': para todo ''a, b'' e ''c'' em ''A'', é verdade que se ''aRb'' e ''aRc'' então ''bRc''.
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* '''Relação extensível''' (ou '''serial'''): para todo ''a'' em ''A'', existe um ''b'' em ''A'' tal que ''aR~;/çb''. "Maior que” é uma relação extensível nos inteiros. Mas não é um relação extensível nos inteiros positivos, porque não existe um ''x'' nos inteiros positivos tal que 1>x.
Uma relação
Uma relação que é ''reflexiva'', ''simétrica'' e ''transitiva'' é chamada de uma [[relação de equivalência]]. Uma relação que é ''reflexiva'', ''anti-simétrica'' e ''transitiva'' é chamada de [[ordem parcial]]. Uma ordem parcial que é total é chamada de [[relação de ordem total]] ou uma ordem linear ou uma chain. Uma ordem linear na qual todo conjunto não vazio tem um menor elemento é chamado bem ordenado.
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