Teorema de Borsuk-Ulam: diferenças entre revisões
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Em dimensão um, a prova é uma consequência direta de um resultado análogo ao [[Teorema do Valor Intermediário]]. Seja <math> f</math> a função contínua do círculo, cujo centro é escolhido sendo o vetor nulo, em <math>\mathbb{R}</math> . Define-se a função <math> g</math> do círculo em <math> \mathbb{R}</math> , que a <math> x</math> associa <math> g(x) = f(x) - f(-x) </math>. O teorema se reduz a mostrar que <math> g</math> admite um zero. Observe que a função <math> g</math> é uma [[função ímpar]], logo <math>g(-x) = -g(x) </math>.
Seja <math>x_0</math> um ponto do círculo. Se <math> g(x_0)=0</math>, o teorema já está demonstrado. Caso contrário, a imagem de <math>g</math> é conexa, posto que o disco é [[conexo]]. Esta imagem contém portanto o segmento de extremidades <math> g(x_0)</math> e <math>-g(x_0)</math>. Este segmento contém o <math>0</math>, que possui uma pré-imagem.[[Q.E.D.]]
Um [[corolário]] interessante: se dois fechados do círculo têm como união o círculo inteiro, um dos fechados deve conter dois pontos antípodas. Com efeito, sejam <math>A </math> e <math> B </math> os dois conjuntos fechados não vazios cuja união é o círculo. Considere a função <math> f </math> que ao ponto <math>x</math> do círculo associa a distância de <math>x</math>
==Teorema de Borsuk-Ulam para <math>S^2</math> ==
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<math>g(x) = \frac{[f(x) - f(-x)]}{\Vert f(x) - f(-x) \Vert}</math>
é uma aplicação contínua de <math>g: S^2 \to S^1</math> tal que <math>g(-x) = -g(x)</math> para todo <math>x</math>, o que é uma contradição.
'''Demonstração 2:''' (Contorno da demonstração) Um outro modo de demonstrar este resultado usa elegantemente o conceito de [[grupo fundamental]]. Raciocinamos por absurdo, e supomos que existe uma função contínua <math>g: S^2 \rightarrow S^1</math>. A aplicação <math> g </math> induz um [[homomorfismo]] entre o grupo fundamental de <math>S^2</math>, a saber: <math> \pi_1(S^2) = {0} </math> e <math> \pi_1(S^1) = \mathbb{Z}</math>. As imagens dos laços de <math> S^2 </math> por <math> g_* </math> devem ser todas homotópicas a um ponto. Então construímos um laço cuja imagem não é homotópica a um ponto, e esta contradição demonstrará o teorema.
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== Corolários==
* Nenhum subconjunto de
* O [[Teorema de Lusternik–Schnirelmann ]]: Se a [[esfera]] '''S'''<sup>''n''</sup> é coberta por ''n'' + 1 conjuntos abertos, então um deste conjuntos contém um par (''x'', −''x'') de pontos antípoda. (em verdade, este teorema é equivalente ao Teorema de Borsuk-Ulam)
* O [[Teorema do Sanduíche de Presunto]]: Para quaisquer conjuntos [[compactos|compacto]] <math>A_1,\ldots, A_n</math> em
* O [[Teorema do ponto fixo de Brouwer]] ({{Harvnb|Matoušek|2003|p=25}}; {{Harvnb|Su|1997}}).
* O caso ''n'' = 2 é geralmente ilustrado dizendo-se que em qualquer instante dado, existe sempre um par de pontos antípodas na superfície da [[Terra]] com mesma temperatura e pressão barométrica. Isto pressupõe que a temperatura e a pressão barométrica variam continuamente na superfície terrestre.
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