Número perfeito: diferenças entre revisões

Em [[Matemática]], um '''número perfeito''' é um [[número natural]] para o qual a soma de todos os seus [[divisor]]es [[Número natural|naturais]] próprios (excluindo ele mesmo) é igual ao próprio número.<ref>[[Plutarco]], ''Vidas Paralelas'', ''Vida de Licurgo'', 5.8. Plutarco especula se [[Licurgo]] havia escolhido o 28 como o número de membros da [[Gerúsia]] por ser este um número perfeito, a soma dos seus fatores, mas logo em seguida rejeita esta ideia</ref> Por exemplo, o número 28 é , pois: <math>\,\!28=1+2+4+7+14</math>. Todo número perfeito é um [[número triangular]], bem como um [[número hexagonal]].

que se 2^''n''&nbsp; −&nbsp; 1 é um [[número primo]] então a fórmula 2^''n''−1(2^''n''-1) resulta em um número perfeito.

:para ''n'' = 2: &nbsp; 2¹(2² − 1) = 6

:para ''n'' = 3: &nbsp; 2²(2³ − 1) = 28

:para ''n'' = 5: &nbsp; 2⁴(2⁵ − 1) = 496

:para ''n'' = 7: &nbsp; 2⁶(2⁷ − 1) = 8.128

Os matemáticos da Antiguidade fizeram várias afirmações sobre os números perfeitos baseados nos quatro que conheciam, mas a maior parte delas vieram a provar-se serem falsas. [[Nicômaco de Gerase]], um neo-[[pitagórico]] do século I, afirmou que como 2, 3, 5, e 7 são precisamente os quatro primeiros primos, o quinto número perfeito seria obtido com ''n'' = 11, que é o quinto primo. Todavia, 2¹¹&nbsp; −&nbsp; 1&nbsp; =&nbsp; 2.047&nbsp; =&nbsp; 23&nbsp; ×&nbsp; 89 não é primo e daí ''n''&nbsp; =&nbsp; 11 não gera um número perfeito. Duas outras falsas afirmações são:

O quinto número perfeito (<math>33.550.336=2^{12}(2^{13}-1)</math>) tem 8 algarismos, contrariando a primeira afirmação. Como termina em 6, a segunda afirmação parecia não ser falsa. Todavia, o sexto número perfeito (8&nbsp; 589&nbsp; 869&nbsp; 056) também termina em 6. É fácil provar que o último algarismo de um número perfeito par é sempre 6 ou 8.

Para que <math>2^n-1</math> seja primo, é necessário mas não suficiente que <math>n</math> seja primo. Os primos da forma 2^''n''&nbsp; −&nbsp; 1 são conhecidos como [[primo de Mersenne|primos de Mersenne]], em honra do monge e matemático [[Marin Mersenne]], que os estudou em 1.644 junto com a [[teoria dos números]] e as propriedades dos números perfeitos.

Um milénio depois de Euclides, [[Ibn al-Haytham]] (Alhazen) por volta do ano [[1000]] percebeu que todo o número perfeito par é da forma 2^''n''−1(2^''n''&nbsp; −&nbsp; 1) onde 2^''n''&nbsp; −&nbsp; 1 é um [[número primo]], Mas não conseguiu provar o resultado.<ref>{{MacTutor Biography|id=Al-Haytham|title=Abu Ali al-Hasan ibn al-Haytham}}</ref> Só no século XVIII [[Leonhard Euler]] provou que a fórmula 2^''n''−1(2^''n''&nbsp; −&nbsp; 1) daria todos os números perfeitos pares. Portanto, todo o primo de Mersenne gera um diferente número perfeito par, numa correspondência unívoca entre ambos os conjuntos. Este resultado é muitas vezes referido como o "teorema de Euclides-Euler". Até o momento, {{data|semdds=sim}}, conhece-se 51 primos de Mersenne<ref>[https://www.mersenne.org/primes/ Números primos de Mersenne] Visitado em 08/01/2020.</ref> o que significa que há 51 números perfeitos pares conhecidos, sendo o maior 2^82.589.932 × (2^82.589.933&nbsp; −&nbsp; 1), um enorme número com 49.724.095 algarismos.

Com a ajuda do [[GIMPS]], através de uma busca exaustiva, descobriu-se que os primeiros 47 números perfeitos pares são da forma 2^''n''−1(2^''n''&nbsp; −&nbsp; 1) para ''n'' = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657, 37156667, 42643801 e 43112609 {{OEIS|A000043}}.

{{Referenciasreferências}}