Conjectura de Oppermann

Problema de matemática em aberto:

Sempre existe ao menos um número primo entre x(x+1) e x²?

(mais problemas em aberto da matemática)

A Conjectura de Oppermann é um dos problemas não-resolvidos da matemática relacionado com a distribuição dos números primos. É intimamente ligada, mas mais forte que as conjecturas de Legendre, Andrica e Brocard. Tem esse nome devido a Ludvig Oppermann, que a propôs em 1882.

Conjectura

A conjectura afirma que, para todo ($\forall$) número inteiro $x>1$, existe ao menos um número primo entre

$x(x-1)$ e $x^{2}$,

e ao menos outro número primo entre

$x^{2}$ e $x(x+1)$.

Pode ser enunciado de forma equivalente utilizando a função de contagem de números primos. Ou seja:

$\pi ({x^{2}-x})<\pi (x^{2})<\pi (x^{2}+x)$ para $x>1$

com $\pi (x)$ sendo a quantidade números primos menores ou iguais a x.

Consequências

Se a conjectura for verdadeira, então a diferença entre dois primos consecutivos pode ser ordenada por

$g_{n}<{\sqrt {p_{n}}}\,$.

O que significa que pode haver ao menos dois primos entre x² e (x + 1)² (um no intervalo entre x² e x(x + 1) e o segundo no intervalo entre x(x + 1) e (x + 1)²), provando a conjectura de Legendre que diz que há ao menos um primo no intervalo.

A conjectura também implica que ao menos um número primo pode ser encontrado em cada revolução da Espiral de Ulam.

Status

Mesmo para pequenos valores de x, a quantidade de números primos no intervalo é muito maior que 1, fornecendo fortes indícios de que a conjectura seja de fato verdadeira. Apesar disso, nenhuma demonstração matemática analítica foi apresentada até o fim de 2016..

Ver também

• Conjectura de Firoozbakht
• Teorema do número primo
• Conjectura de Goldbach
• Conjectura de Legendre