E8
Em matemática, E8 é uma forma simples da Álgebra de Lie de 248 dimensões, a mesma notação é algumas vezes usada para as suas raízes.
- Título a ser usado para criar uma ligação interna é E8.
O grupo E8 foi formulado entre os anos de 1888 e 1890 por Wilhelm Killing, embora não chegue a provar sua existência, a qual foi primeiramente demonstrada por Élie Cartan.
A denominação E8 provém da classificação de Killing e Cartan da complexa álgebra simples de Lie, que se divide em quatro famílias infinitas rotuladas An, Bn, Cn, Dn, e cinco casos excepcionais marcados E6, E7, E8, F4, e G2.
A álgebra E8 é a maior e mais complicada deste grupo, e é frequentemente a última a ter seus teoremas provados.
Descrição básica editar
E8 possui rank 8 e 248 dimensões. Os vetores da raiz do sistema estão em oito dimensões, especificadas mais adiante neste artigo. O grupo Weyl de E8, que age como um grupo de simetria de máximo torus por meio do conjugado de funcionamento do grupo, é da ordem 696.729.600.
E8é o único dos grupos de Lie que sua não-trivial representação de menor dimensão é a representação adjunta (de 248 dimensões) sobre a álgebra de Lie que atuam em si mesma, é também o único que tem as seguintes três propriedades: centro trivial, simplesmente ligado, e simplesmente Laçado (todas as raízes têm o mesmo comprimento). Existe uma álgebra de Lie En para cada inteiro n maior ou igual a 3, que é dimensionalmente infinito se n for superior a 8.
Forma Real editar
O complexo do grupo de Lie E8 de 248 dimensões complexas pode ser considerado como um simples grupo de Lie real de 496 dimensões, que é simplesmente ligado, tem o máximo compacto subgrupo de forma compacta E8, e tem um grupo de automorfismo ordem 2 gerado pelo conjugado complexo.
O grupo de Lie complexo tipo E8 possui três formas reais, todos de 248 dimensões reais, como segue:
- Uma forma compacta (que é caso normal se outra informação não é dada), que está simplesmente ligada e tem grupo automorfismo trivial afastado.
- Uma forma fracionada, que tem máximo subgrupo compacto Spin(16)/(Z/2Z), grupo fundamental de ordem 2, e uma não-algébricas dupla capa e tem grupo automorfismo trivial afastado.
- Uma forma, que tem subgrupo máximo compacto E7×SU(2)/(−1×−1), grupo fundamental de ordem 2, e uma dupla capa não-algébrica e tem grupo automorfismo trivial afastado.
Para uma lista completa de formas reais simples da Álgebra de Lie, veja a lista de grupos de Lie simples.
Representação da teoria editar
Os coeficientes da fórmula para representação de infinito dimensional irredutível de E8 dependem de grandes matrizes formadas por polinômios, os polinômios de Lusztig-Vogan, análogos de polinômios de Kazhdan-Lusztig introduzidos para reduzir grupos em geral por George Lusztig e David Kazhdan ( 1983). Os valores do primeiro polinômio de Lusztig-Vogan fornecem os coeficientes das matrizes referentes às representações padrão com as representações irredutíveis.
Essas matrizes foram calculadas após quatro anos de colaboração de um grupo de 18 cientistas matemáticos e informáticos, liderado por Jeffrey Adams, com grande parte da programação feita por Fokko du Cloux. O mais difícil caso é o desdobramento da forma real de E8, onde a matriz é de dimensão 453060 × 453060. O polinômio de Lusztig-Vogan para todos os outros grupos foi conhecidos há algum tempo, o cálculo para E8 é mais longo que em qualquer outro caso.
O anúncio do resultado, em Março de 2007, recebeu extraordinária atenção dos meios de comunicação social, para a surpresa dos matemáticos que trabalhavam nele.
Construçao editar
Pode-se construir o (forma compacta) grupo E8 como o grupo automorfismo do correspondente e8 álgebra de Lie. Esta álgebra tem subálgebra 120-dimensional gerada pela Jij, bem como 128 novos geradores Qa que transformam um Weyl-Majorana spinor de spin(16).
Estas declarações determinam os comutadores
![{\displaystyle [J_{ij},J_{k\ell }]=\delta _{jk}J_{i\ell }-\delta _{j\ell }J_{ik}-\delta _{ik}J_{j\ell }+\delta _{i\ell }J_{jk}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ad64e3ae900adbd73a85b698bb107193e8dd662)
bem como
![{\displaystyle [J_{ij},Q_{a}]={\frac {1}{4}}(\gamma _{i}\gamma _{j}-\gamma _{j}\gamma _{i})_{ab}Q_{b},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97202345264c8d393e70c2ba695b5ba5ce2a9ae5)
enquanto os restantes comutadores (não anticommutator!) são definido como
![{\displaystyle [Q_{a},Q_{b}]=\gamma _{ac}^{[i}\gamma _{cb}^{j]}J_{ij}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7dd7c1147273806e05e2f88d1aea7bc07a4b0fa7)
É então possível verificar que a identidade Jacobi está satisfeita.
Ver também editar
Ligações externas editar
Ligações relacionada com o cálculo do polinômio de Lusztig-Vogan:
- «Atlas de grupos de Lie»;
- «Kazhdan-Lusztig-Vogan para Polinômios E8»
- D. Vogan, Narrativa do Projeto para calcular Kazhdan-Lusztig para Polinômios E8
- D. Vogan, Como anotou um 453060 × 453060 Matrix e achou felicidade para uma palestra sobre popular.
- «Representação gráfica da raíz de sistema E8»
- «E8Flyer» - Uma ferramenta de investigação interativa baseada no free Mathematica Notebook Player.