Espiral hiperbólica

Uma espiral hiperbólica é uma curva plana transcendental, também conhecida como espiral recíproca. Se define pela equação polar rθ = a, e é a inversa da espiral de Arquimedes.

Espiral hiperbólica para a=2

Começa em uma distância infinita do ponto central (para θ començando desde zero, r = a/θ começa desde o infinito), e se enrola cada vez mais rapidamente a medida que se aproxima ao e aproxima do ponto, a distância de qualquer ponto ao centro, seguindo a curva, é infinito. Aplicando a transformação desde o sistema de coordenadas polares:

$x=r\cos \theta ,\qquad y=r\sin \theta ,$

conduz à seguinte representação paramétrica em coordenadas cartesianas:

$x=a{\cos t \over t},\qquad y=a{\sin t \over t},$

onde o parâmetro t é um equivalente de θ nas coordenadas polares.

A espiral tem uma assíntota em y = a: quando t se aproxima de zero, a ordenada se aproxima até a, ainda que a abscissa cresça até o infinito:

$\lim _{t\to 0}x=a\lim _{t\to 0}{\cos t \over t}=\infty ,$

$\lim _{t\to 0}y=a\lim _{t\to 0}{\sin t \over t}=a\cdot 1=a.$

Foi Pierre Varignon que primeiro estudou esta curva, em 1704. Posteriormente Johann Bernoulli (1710 - 1713) e Roger Cotes (1722) trabalharam sobre a curva.

Ligações externas

• «Hyperbolic Spiral» (em inglês). - www.gap-system.org 
• «Hyperbolic Spiral» (em inglês). - MathWorld 
• «hyperbolic spiral» (em inglês). - MathResources 
• «Hyperbolic spiral» (em inglês). - Exploração online em JSXGraph (JavaScript) 

Ver também

• Coordenadas polares
• Espiral de Fermat
• Espiral de Arquimedes
• Arquimedes