Estabilidade estrutural

Na Teoria dos sistemas dinâmicos, um sistema é dito estruturalmente estável caso as propriedades topológicas do sistema dinâmico se mantenham as mesmas após uma pequena perturbação da transformação que define a dinâmica.

DefiniçãoEditar

Um difeomorfismo de classe     definido sobre uma variedade suave   define um sistema dinâmico estruturalmente estável sobre   caso exista uma vizinhança   de f no espaço dos difeomorfismos de classe   sobre   (munido da topologia de Whitney), de forma que qualquer difeomorfismo   em   seja topologicamente equivalente a  . De forma análoga, dizemos que   é estruturalmente estável.

O conceito de estabilidade estrutural se estende mutatis mutandis para fluxos.

HistóriaEditar

O matemático brasileiro Maurício Peixoto é considerado um dos criadores do conceito de estabilidade estrutural, baseando-se no trabalho dos matemáticos russos Alexander Andronov e Lev Pontrjagin,[1] que estudaram as perturbações de um campo X definido em um disco bidimensional, com   transversal à fronteira do disco. Tal condição permite estender   para a esfera  , e no início da década de 1960 Peixoto demonstrou um teorema de necessidade e suficiência[2] para estabilidade estrutural de fluxos sobre a  , resultado logo depois generalizado por Peixoto para superfícies bidimensionais orientáveis em geral.

ExemplosEditar

Os sistemas Morse-Smale são um exemplo de sistema dinâmicos estruturalmente estáveis. Para superfícies bidimensionais compactas e orientáveis, o conjunto dos campos estrutralmente estáveis formam um conjunto genérico. Por outro lado, o conjunto dos difeomorfismos estruturalmente estáveis sobre uma variedade de dimensão maior do que dois nunca é denso no espaço dos difeomorfismos.

Referências

  1. M. M. Peixoto, "Acceptance speech for the TWAS 1986 award in mathematics", Proceedings of the Second General Conference Organized by the Third World Academy of Sciences, 1987 - Ed. World Scientific.
  2. PEIXOTO, M. M. 1962. Structural stability on two-dimensional manifolds. Topology. vol. 1