Fórmula (lógica)

Na lógica matemática, uma fórmula é uma representação de uma proposição dentro de uma certa linguagem formal.

Grosso modo, uma fórmula é uma frase construída segundo as regras gramaticais de uma determinada linguagem formal, a respeito de objetos do universo de discurso.

Fórmula em lógica clássica de primeira ordem editar

A forma exata de uma fórmula depende de que tipo de lógica se está considerando, para exemplificar, tome a definição recursiva para fórmula na lógica clássica de primeira ordem, as fórmulas são definidas para uma assinatura particular e podem ser:

R(t₀, …, t_n), onde R é um símbolo de relação n-ário (com n >= 0) e t₀, …, t_n são termos, ou
⊤ , ou
⊥, ou
(¬φ), onde φ é uma fórmula, ou
(φ∧ψ), onde φ e ψ são fórmulas, ou
(φ∨ψ), onde φ e ψ são fórmulas, ou
(φ → ψ), onde φ e ψ são fórmulas, ou
(φ ↔ ψ), onde φ e ψ são fórmulas, ou
(∀x)(φ), onde x é uma variável e φ é uma fórmula, ou
(∃x)(φ), onde x é uma variável e φ é uma fórmula.

O primeiro caso acima é chamado de fórmula atômica.

E um termo pode ser definido, também recursivamente, por:

Uma variável.
Um símbolo de constante, ou
f(t₀, …, t_n), onde f é um símbolo de função n-ária(com n >= 0) aplicada a termos.

É necessário observar que quando uma FBF não é uma fórmula fechada, essa não pode ser classificada como uma fórmula proposicional. Ora, dada a fórmula fechada $\exists \mathrm {x} \forall \mathrm {y} (\mathrm {R} (\mathrm {x} ,\mathrm {y} ))$ onde R é uma relação binária e x e y são termos, podemos interpretá-la, por exemplo, por: para todo número natural há um número menor ou igual a ele, e sabemos que isso é verdadeiro, mas se tomarmos a fórmula bem formada: $\exists \mathrm {x} (\mathrm {P} (\mathrm {x} ,\mathrm {y} ))$ , onde P é um símbolo de relação binária e x e y são termos, a máxima interpretação que podemos dar a essa fórmula é: existe um número x menor que ___, por exemplo, e não há como verificar se essa fórmula é ou não verdadeira.

Exemplos editar

Um exemplo de fórmula proposicional para lógica clássica de primeira ordem pode ser:

$\exists \mathrm {z} \forall \mathrm {x} (\mathrm {P} (\mathrm {z} ,\mathrm {x} ))$ , onde P é um símbolo de relação binária e x e z são termos.
$\exists \mathrm {y} \forall \mathrm {x} (\mathrm {P} (\mathrm {x} ,\mathrm {y} )\land (\mathrm {R} (\mathrm {x} )))$ , onde x e y são variáveis e P e R são símbolos de relações binária e unária respectivamente.

Um não-exemplo seria:

$\exists \mathrm {z} (\mathrm {P} (\mathrm {z} ,\mathrm {x} ))$ , onde x e z são termos, e P é um símbolo de função.

Ver também editar

Bibliografia editar

BEDREGAL, Benjamín R. Callejas; ACIÓLY, Benedito Melo. Lógica para a Ciência da Computação. 2002. (Versão preliminar)
"Sentential Formula." WolframMathWorld. - 2 Jul 2007, 12:26 UTC. <http://mathworld.wolfram.com/SententialFormula.html>.