Fórmula (lógica)
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Na lógica matemática, uma fórmula é uma representação de uma proposição dentro de uma certa linguagem formal.
Grosso modo, uma fórmula é uma frase construída segundo as regras gramaticais de uma determinada linguagem formal, a respeito de objetos do universo de discurso.
Fórmula em lógica clássica de primeira ordem
editarA forma exata de uma fórmula depende de que tipo de lógica se está considerando, para exemplificar, tome a definição recursiva para fórmula na lógica clássica de primeira ordem, as fórmulas são definidas para uma assinatura particular e podem ser:
- R(t0, …, tn), onde R é um símbolo de relação n-ário (com n >= 0) e t0, …, tn são termos, ou
- ⊤ , ou
- ⊥, ou
- (¬φ), onde φ é uma fórmula, ou
- (φ∧ψ), onde φ e ψ são fórmulas, ou
- (φ∨ψ), onde φ e ψ são fórmulas, ou
- (φ → ψ), onde φ e ψ são fórmulas, ou
- (φ ↔ ψ), onde φ e ψ são fórmulas, ou
- (∀x)(φ), onde x é uma variável e φ é uma fórmula, ou
- (∃x)(φ), onde x é uma variável e φ é uma fórmula.
O primeiro caso acima é chamado de fórmula atômica.
E um termo pode ser definido, também recursivamente, por:
- Uma variável.
- Um símbolo de constante, ou
- f(t0, …, tn), onde f é um símbolo de função n-ária(com n >= 0) aplicada a termos.
É necessário observar que quando uma FBF não é uma fórmula fechada, essa não pode ser classificada como uma fórmula proposicional. Ora, dada a fórmula fechada onde R é uma relação binária e x e y são termos, podemos interpretá-la, por exemplo, por: para todo número natural há um número menor ou igual a ele, e sabemos que isso é verdadeiro, mas se tomarmos a fórmula bem formada: , onde P é um símbolo de relação binária e x e y são termos, a máxima interpretação que podemos dar a essa fórmula é: existe um número x menor que ___, por exemplo, e não há como verificar se essa fórmula é ou não verdadeira.
Exemplos
editarUm exemplo de fórmula proposicional para lógica clássica de primeira ordem pode ser:
- , onde P é um símbolo de relação binária e x e z são termos.
- , onde x e y são variáveis e P e R são símbolos de relações binária e unária respectivamente.
Um não-exemplo seria:
- , onde x e z são termos, e P é um símbolo de função.
Ver também
editarBibliografia
editar- BEDREGAL, Benjamín R. Callejas; ACIÓLY, Benedito Melo. Lógica para a Ciência da Computação. 2002. (Versão preliminar)
- "Sentential Formula." WolframMathWorld. - 2 Jul 2007, 12:26 UTC. <http://mathworld.wolfram.com/SententialFormula.html>.