A fórmula de Feynman–Kac , que recebe este nome em homenagem ao físico norte-americano Richard Feynman e ao matemático polonês Mark Kac , estabelece uma ligação entre equações diferenciais parciais (EDPs) parabólicas e processos estocásticos . A fórmula oferece um método para resolver algumas EDPs pela simulação de caminhos aleatórios de um processo estocástico. Reciprocamente, uma importante classe de valores esperados de processos aleatórios pode ser computada por métodos determinísticos.
Considere a equação diferencial parcial[ 1]
∂ u ∂ t ( x , t ) + μ ( x , t ) ∂ u ∂ x ( x , t ) + 1 2 σ 2 ( x , t ) ∂ 2 u ∂ x 2 ( x , t ) − V ( x , t ) u ( x , t ) + f ( x , t ) = 0 , {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}(x,t)+\mu (x,t){\frac {\partial u}{\partial x}}(x,t)+{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}(x,t){\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}(x,t)-V(x,t)u(x,t)+f(x,t)=0,} definida para todo x {\displaystyle x} R e todo t {\displaystyle t} [ 0 , T ] {\displaystyle [0,T]}
u ( x , T ) = ψ ( x ) , {\displaystyle u(x,T)=\psi (x),} em que μ {\displaystyle \mu } σ {\displaystyle \sigma } ψ {\displaystyle \psi } V {\displaystyle V} f {\displaystyle f} T {\displaystyle T} u : R × [ 0 , T ] → R {\displaystyle u:\mathbb {R} \times [0,T]\to \mathbb {R} }
u ( x , t ) = E Q [ ∫ t T e − ∫ t r V ( X τ , τ ) d τ f ( X r , r ) d r + e − ∫ t T V ( X τ , τ ) d τ ψ ( X T ) | X t = x ] {\displaystyle u(x,t)=E^{Q}\left[\int _{t}^{T}e^{-\int _{t}^{r}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }f(X_{r},r)dr+e^{-\int _{t}^{T}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }\psi (X_{T}){\Bigg |}X_{t}=x\right]} sob a medida de probabilidade Q {\displaystyle Q} X {\displaystyle X}
d X = μ ( X , t ) d t + σ ( X , t ) d W Q , {\displaystyle dX=\mu (X,t)\,dt+\sigma (X,t)\,dW^{Q},} sendo W Q ( t ) {\displaystyle W^{Q}(t)} processo de Wiener (também chamado de movimento browniano ) sob Q {\displaystyle Q} x {\displaystyle x} X ( t ) {\displaystyle X(t)}
Considere u ( x , t ) {\displaystyle u(x,t)} lema de Itō ao processo[ 2]
Y ( s ) = e − ∫ t s V ( X τ , τ ) d τ u ( X s , s ) + ∫ t s e − ∫ t r V ( X τ , τ ) d τ f ( X r , r ) d r {\displaystyle Y(s)=e^{-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }u(X_{s},s)+\int _{t}^{s}e^{-\int _{t}^{r}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }f(X_{r},r)\,dr} obtém-se
d Y = d ( e − ∫ t s V ( X τ , τ ) d τ ) u ( X s , s ) + e − ∫ t s V ( X τ , τ ) d τ d u ( X s , s ) + d ( e − ∫ t s V ( X τ , τ ) d τ ) d u ( X s , s ) + d ( ∫ t s e − ∫ t r V ( X τ , τ ) d τ f ( X r , r ) d r ) {\displaystyle {\begin{aligned}dY={}&d\left(e^{-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }\right)u(X_{s},s)+e^{-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }\,du(X_{s},s)\\[6pt]&{}+d\left(e^{-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }\right)du(X_{s},s)+d\left(\int _{t}^{s}e^{-\int _{t}^{r}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }f(X_{r},r)\,dr\right)\end{aligned}}} Já que
d ( e − ∫ t s V ( X τ , τ ) d τ ) = − V ( X s , s ) e − ∫ t s V ( X τ , τ ) d τ d s , {\displaystyle d\left(e^{-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }\right)=-V(X_{s},s)e^{-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }\,ds,} o terceiro termo é O ( d t d u ) {\displaystyle O(dt\,du)}
d ( ∫ t s e − ∫ t r V ( X τ , τ ) d τ f ( X r , r ) d r ) = e − ∫ t s V ( X τ , τ ) d τ f ( X s , s ) d s . {\displaystyle d\left(\int _{t}^{s}e^{-\int _{t}^{r}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }f(X_{r},r)dr\right)=e^{-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }f(X_{s},s)ds.} Aplicado o lema de Itō novamente a d u ( X s , s ) {\displaystyle du(X_{s},s)}
d Y = e − ∫ t s V ( X τ , τ ) d τ ( − V ( X s , s ) u ( X s , s ) + f ( X s , s ) + μ ( X s , s ) ∂ u ∂ X + ∂ u ∂ s + 1 2 σ 2 ( X s , s ) ∂ 2 u ∂ X 2 ) d s + e − ∫ t s V ( X τ , τ ) d τ σ ( X , s ) ∂ u ∂ X d W . {\displaystyle {\begin{aligned}dY={}&e^{-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }\,\left(-V(X_{s},s)u(X_{s},s)+f(X_{s},s)+\mu (X_{s},s){\frac {\partial u}{\partial X}}+{\frac {\partial u}{\partial s}}+{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}(X_{s},s){\frac {\partial ^{2}u}{\partial X^{2}}}\right)\,ds\\[6pt]&{}+e^{-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }\sigma (X,s){\frac {\partial u}{\partial X}}\,dW.\end{aligned}}} O primeiro termo contém, entre parênteses, a EDP acima, sendo portanto zero. O que sobra é
d Y = e − ∫ t s V ( X τ , τ ) d τ σ ( X , s ) ∂ u ∂ X d W . {\displaystyle dY=e^{-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }\sigma (X,s){\frac {\partial u}{\partial X}}\,dW.} Integrando esta equação de t {\displaystyle t} T {\displaystyle T}
Y ( T ) − Y ( t ) = ∫ t T e − ∫ t s V ( X τ , τ ) d τ σ ( X , s ) ∂ u ∂ X d W . {\displaystyle Y(T)-Y(t)=\int _{t}^{T}e^{-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }\sigma (X,s){\frac {\partial u}{\partial X}}\,dW.} Ao tomar valores esperados, condicionados em X t = x {\displaystyle X_{t}=x}
E [ Y ( T ) ∣ X t = x ] = E [ Y ( t ) ∣ X t = x ] = u ( x , t ) . {\displaystyle E[Y(T)\mid X_{t}=x]=E[Y(t)\mid X_{t}=x]=u(x,t).} O resultado desejado é obtido observando que
E [ Y ( T ) ∣ X t = x ] = E [ e − ∫ t T V ( X τ , τ ) d τ u ( X T , T ) + ∫ t T e − ∫ t r V ( X τ , τ ) d τ f ( X r , r ) d r | X t = x ] {\displaystyle E[Y(T)\mid X_{t}=x]=E\left[e^{-\int _{t}^{T}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }u(X_{T},T)+\int _{t}^{T}e^{-\int _{t}^{r}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }f(X_{r},r)\,dr\,{\Bigg |}\,X_{t}=x\right]} e finalmente
u ( x , t ) = E [ e − ∫ t T V ( X τ , τ ) d τ ψ ( X T ) + ∫ t T e − ∫ t s V ( X τ , τ ) d τ f ( X s , s ) d s | X t = x ] {\displaystyle u(x,t)=E\left[e^{-\int _{t}^{T}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }\psi (X_{T})+\int _{t}^{T}e^{-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }f(X_{s},s)\,ds\,{\Bigg |}\,X_{t}=x\right]} Considerações
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A prova acima é essencialmente uma demonstração com modificações para computar f ( x , t ) {\displaystyle f(x,t)} [ 3]
A fórmula de valor esperado acima também é válida para difusões de Itō de n {\displaystyle n} u : R N × [ 0 , T ] → R {\displaystyle u:\mathbb {R} ^{N}\times [0,T]\to \mathbb {R} } [ 4] ∂ u ∂ t + ∑ i = 1 N μ i ( x , t ) ∂ u ∂ x i + 1 2 ∑ i = 1 N ∑ j = 1 N γ i j ( x , t ) ∂ 2 u ∂ x i x j − r ( x , t ) u = f ( x , t ) , {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+\sum _{i=1}^{N}\mu _{i}(x,t){\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}+{\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}\gamma _{ij}(x,t){\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}x_{j}}}-r(x,t)u=f(x,t),} em que, γ i j ( x , t ) = ∑ k = 1 N σ i k ( x , t ) σ j k ( x , t ) , {\displaystyle \gamma _{ij}(x,t)=\sum _{k=1}^{N}\sigma _{ik}(x,t)\sigma _{jk}(x,t),} isto é, γ = σ σ ′ {\displaystyle \gamma =\sigma \sigma '} σ ′ {\displaystyle \sigma '} σ ) {\displaystyle \sigma )} O valor esperado pode ser então aproximado pelo método de Monte Carlo ou pelo método de quase-Monte Carlo.
Quando foi publicado pela primeira vez por Kac em 1949, a fórmula de Feynman–Mac foi apresentada como uma fórmula para determinar a distribuição de certas funcionais de Wiener.[ 5] e − ∫ 0 t V ( x ( τ ) ) d τ {\displaystyle e^{-\int _{0}^{t}V(x(\tau ))\,d\tau }} no caso em que x ( τ ) {\displaystyle x(\tau )} x ( 0 ) = 0 {\displaystyle x(0)=0} u V ( x ) ≥ 0 {\displaystyle uV(x)\geq 0} E [ e − u ∫ 0 t V ( x ( τ ) ) d τ ] = ∫ − ∞ ∞ w ( x , t ) d x {\displaystyle E\left[e^{-u\int _{0}^{t}V(x(\tau ))\,d\tau }\right]=\int _{-\infty }^{\infty }w(x,t)\,dx} em que w ( x , 0 ) = δ ( x ) {\displaystyle w(x,0)=\delta (x)} ∂ w ∂ t = 1 2 ∂ 2 w ∂ x 2 − u V ( x ) w . {\displaystyle {\frac {\partial w}{\partial t}}={\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}-uV(x)w.} A fórmula de Feynman–Kac também pode ser interpretada como um método para avaliação de integrais funcionais de uma certa forma. Se I = ∫ f ( x ( 0 ) ) e − u ∫ 0 t V ( x ( t ) ) d t g ( x ( t ) ) D x {\displaystyle I=\int f(x(0))e^{-u\int _{0}^{t}V(x(t))\,dt}g(x(t))\,Dx} em que a integral é tomada sobre todos os passeios aleatórios , então, I = ∫ w ( x , t ) g ( x ) d x {\displaystyle I=\int w(x,t)g(x)\,dx} em que w ( x , t ) {\displaystyle w(x,t)} ∂ w ∂ t = 1 2 ∂ 2 w ∂ x 2 − u V ( x ) w {\displaystyle {\frac {\partial w}{\partial t}}={\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}-uV(x)w} com a condição inicial w ( x , 0 ) = f ( x ) {\displaystyle w(x,0)=f(x)} 
![{\displaystyle [0,T]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35ccef2d3dc751e081375d51c111709d8a1d7ac6)
![{\displaystyle u:\mathbb {R} \times [0,T]\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38873e14a1f9a3da874cca5eeffed5d077771016)
![{\displaystyle u(x,t)=E^{Q}\left[\int _{t}^{T}e^{-\int _{t}^{r}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }f(X_{r},r)dr+e^{-\int _{t}^{T}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }\psi (X_{T}){\Bigg |}X_{t}=x\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e271348677ed059b0fefab6e0e01079740333265)
![{\displaystyle {\begin{aligned}dY={}&d\left(e^{-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }\right)u(X_{s},s)+e^{-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }\,du(X_{s},s)\\[6pt]&{}+d\left(e^{-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }\right)du(X_{s},s)+d\left(\int _{t}^{s}e^{-\int _{t}^{r}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }f(X_{r},r)\,dr\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cacc830b2dae4e1fdd85cbe36dc314d40583fcd)
![{\displaystyle {\begin{aligned}dY={}&e^{-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }\,\left(-V(X_{s},s)u(X_{s},s)+f(X_{s},s)+\mu (X_{s},s){\frac {\partial u}{\partial X}}+{\frac {\partial u}{\partial s}}+{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}(X_{s},s){\frac {\partial ^{2}u}{\partial X^{2}}}\right)\,ds\\[6pt]&{}+e^{-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }\sigma (X,s){\frac {\partial u}{\partial X}}\,dW.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4af412d01f42d065559b753c274703349f725de7)
![{\displaystyle E[Y(T)\mid X_{t}=x]=E[Y(t)\mid X_{t}=x]=u(x,t).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/228c1cec665f64e21ad6d40e97a01f8f9090c58a)
![{\displaystyle E[Y(T)\mid X_{t}=x]=E\left[e^{-\int _{t}^{T}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }u(X_{T},T)+\int _{t}^{T}e^{-\int _{t}^{r}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }f(X_{r},r)\,dr\,{\Bigg |}\,X_{t}=x\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/539a3463c0e8eaa7a33c44ec5f797de537b39260)
![{\displaystyle u(x,t)=E\left[e^{-\int _{t}^{T}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }\psi (X_{T})+\int _{t}^{T}e^{-\int _{t}^{s}V(X_{\tau },\tau )\,d\tau }f(X_{s},s)\,ds\,{\Bigg |}\,X_{t}=x\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2bd9a8f3efad992899e26b3969a95fcdaf64d94)
![{\displaystyle u:\mathbb {R} ^{N}\times [0,T]\to \mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e9cd62a6cb5c747a2bc371b1e2ddc837848a5bb2)
![{\displaystyle E\left[e^{-u\int _{0}^{t}V(x(\tau ))\,d\tau }\right]=\int _{-\infty }^{\infty }w(x,t)\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8801b5e584afc88d05e28eff4160c5ead56e55d)
