Fórmula de De Moivre

(Redirecionado de Fórmula de Moivre)

A fórmula de De Moivre afirma que[1]:

Abraham De Moivre

Esta fórmula é importante porque estabelece uma ligação entre números complexos (i é a unidade imaginária) com a trigonometria. A expressão:

é frequentemente abreviada por:

.

ainda que a fórmula de Euler seja uma maneira mais comum de a descrever.

Abraham de Moivre foi amigo de Newton; em 1698 este último escreveu que esta fórmula era do seu conhecimento desde 1676.

A fórmula de De Moivre pode ser obtida da fórmula de Euler:

embora historicamente seja anterior a esta. Ela é um caso particular da expressão mais geral[1]:

Demonstração

editar

Vamos demonstrar[2] a fórmula para   por indução e, depois generalizar, não recorrendo à fórmula de Euler. Queremos provar que

 ,   e com   sendo um número complexo.

Para   a identidade é verdadeira, pois tem-se  , que é a representação na forma polar de um número complexo (com   e  ).

Suponhamos agora que a propriedade se verifica para   e provemos que também o é para  . Temos:

 

Conseguimos provar que a fórmula se verifica, recorrendo às fórmulas   e  .

Queremos agora generalizar para  . Para n=0 a propriedade é imediata se convencionarmos  

Consideremos  . Então:

 

Em que aplicámos propriedades dos complexos relacionadas com a potenciação e o quociente. Repare-se que agora estamos perante   e não  . Agora:

 

Aplicámos apenas a fórmula que já demonstrámos para os números naturais, uma vez que, como   é negativo,   é positivo (natural).

Substituindo de volta por  :

 , Q.E.D.

Destaque para o facto de a fórmula de De Moivre ser um caso particular para  

Referências

  1. a b BROWN, J. W.; RUEL, C. V. (2003). Complex Variables and Applications (7.ª edição). McGraw-Hill Science Engineering ISBN 9780072872521. Páginas 18 a 21.
  2. A demonstração segue em grande parte a demonstração da referência anterior, ainda que seja ligeiramente diferente para evitar recorrer demasiado à fórmula de Euler.