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Interpretação geométrica da fórmula de Euler.

A fórmula de Euler, cujo nome é uma homenagem a Leonhard Euler, é uma fórmula matemática da área específica da análise complexa, que mostra uma relação entre as funções trigonométricas e a função exponencial (a identidade de Euler é um caso especial da fórmula de Euler). A fórmula é dada por:[1]

,

em que :

x é o argumento real (em radianos);
é a base do logaritmo natural;
, onde é a unidade imaginária (número complexo);
e são funções trigonométricas.

A relação entre exponencial complexa e funções trigonométricas foi primeiro provada pelo matemático inglês Roger Cotes em 1714, na forma

em que ln é o logaritmo natural.[2]

Prova utilizando cálculoEditar

 
O ponto negro representa um número complexo. Seu valor absoluto é "r", a distãncia da origem. Seu argumento é φ, seu ângulo em radianos
 
A função exponencial   pode ser definida como o limite de uma sequência  , quando n tende ao infinito. Nesta animação, "n" assume valores crescentes entre 1 e 100. À medida que n cresce,   se aproxima de -1.
 Ver artigo principal: tabela de derivadas
 Ver artigo principal: número complexo
 Ver artigo principal: cosseno
 Ver artigo principal: seno

Uma propriedade conhecida das funções exponenciais é que elas são iguais às suas derivadas:

 , onde "x" é um número real.

As funções exponenciais com números complexos também satisfazem esta mesma propriedade[3]:

 , onde "z" é um número complexo.

Portanto, pela regra da cadeia:

 

Então definimos uma nova função, que chamaremos de "f":

 

Pela regra do produto, que vale também para funções que tenham como imagem números complexos, a derivada de f(x) será::

 

Portanto, f(x) deve ser uma função constante em x. Já que f(0)=1 (o que pode ser facilmente descoberto substituindo-se x por 0 na função),

 

Multiplicando os dois lados por cos x + i sin x, obtemos

 

Prova utilizando série de TaylorEditar

Para o estudo da fórmula de Euler necessitamos do conhecimento de expansão em séries de potência. Introduziremos uma grande ferramenta, sem uma análise profunda, que é o seguinte conceito:

A expansão em série de Taylor de uma função analítica   centrada em   é representada como:

 

com   , onde

 

Usando esse conceito de expansão e tomando   em torno de  , teremos:

 

para todo   com intervalo de convergência de  

Em  , na equação acima, obtém-se a expressão para o número  , como uma soma de uma série infinita:

 

Se admitirmos a validade de substituirmos   por   na equação obteremos:

 

A primeira parte da soma da equação anterior ( ) é a expansão do   e a segunda é a expansão do   em série de Maclaurin. Assim teremos a equação que ficou conhecida como fórmula de Euler

 

que de forma mais generalizada pode ser escrita como:

 .

ExemploEditar

Se tomarmos como  , então teremos um importante produto[1]:

 
 

Ver tambémEditar

Referências

  1. a b SIMON, Carl P., e BLUME, Lawrence. Matemática para Economistas. Porto Alegre: Bookman, 2005. Reimpressão 2008. ISBN 978-85-363-0307-9. Seção A3.4, páginas 871 e 872.
  2. John Stillwell (2002). Mathematics and Its History. Springer.
  3. Daniels, Doug. «Complex Differentiation». Consultado em 15 de maio de 2011 

Ligações externasEditar