Fórmula de inversão de Möbius

A fórmula de inversão de Möbius, assim denominada em homenagem a August Ferdinand Möbius (Schulpforta, 17 de novembro de 1790 - Leipzig, 26 de setembro de 1868) é resultado de teoria elementar dos números que permite explicitar uma função aritmética em termos de uma outra, definida a partir da primeira, e da função de Möbius. Objetivamente, o resultado diz que se e são duas funções aritméticas tais que

, então vale

A demonstração que apresentamos a seguir tem a mesma essência de muitas encontradas nos livros de teoria dos números. No entanto, a modificação introduzida elimina um desconforto causado por uma permuta de somatórios muito comum em tais livros didáticos.

DemonstraçãoEditar

Dado  , denotemos por   o conjunto dos divisores de   e para cada   seja   a função característica de  , ou seja, dado   temos  , se   e   se  . Agora para mostrar que  , partimos do segundo membro e chegamos no primeiro. De fato, Inicialmente observamos que para cada   temos  , onde  , se   e   se  . Com efeito, as parcelas que contribuem efetivamente no somatório acima são aquelas para as quais   é multiplo de  . Assim, podem-se escrever  , com  . Fazendo   e usando o fato que   segue que  . Reciprocamente, se   então   é divisor de   e múltiplo de  .

Portanto, podemos escrever

 . A penúltima igualdade é conhecida e a última segue da definição do delta de Kronecker, lembrando que  .

Por fim,

     . Isso conclui a demonstração.

Também vale notar que podemos reverter o processo e reobter a função   a partir de  . Nas palavras do autor da referência abaixo, se duas funções aritméticas satisfazem uma das equações dadas no enunciado, então também satisfazem a outra. De fato, assumindo que a segunda equação ocorre e mantendo as notações acima, temos

   

Referências bibliográficasEditar

  • Santos, J.P.O., Introdução à Teoria dos Números, Matemática Universitária, IMPA.
  Este artigo sobre matemática é um esboço. Você pode ajudar a Wikipédia expandindo-o.