Decomposição em frações parciais

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Em álgebra, Decomposição em frações parciais ou Expansão em frações parciais é um método que permite decompor expressões racionais, isto é, quocientes de dois polinômios, em uma soma de frações mais simples, chamadas frações parciais. É um recurso matemático muito utilizado na simplificação de problemas envolvendo integrais e transformadas de Laplace.

Dada uma função racional , em que e são polinômios tais que o grau de Q seja maior que o grau de P, têm-se que:

1) Decomposição de fator linear com multiplicidade n.

[1]

Exemplo:

Decompomos o denominador acima no maior número de frações possíveis.

A fim de criar um sistema envolvendo os coeficientes e o numerador original, reagrupamos os termos.

Resolvendo o sistema, temos que A= 1/4 B= -1/4 e C= 1/2

Portanto a nova fração é dada por:

2) Decomposição de um fator quadrático irredutível com multiplicidade n:

3) Podemos também decompor frações em denominadores simples, primos e irredutíveis:

Exemplo:

4) Outra técnica utilizada é a técnica dos limites ou método de Heaviside:

Exemplo:

Podemos reescrever a fração como;

Agora usamos os limites para determinar os coeficientes.

Logo a nova expressão é dada por:

[2]

Frações parciais em LaplaceEditar

Muitas vezes, ao tentar calcular a transformada inversa de uma F(s), nos deparamos com um polinômio de alto grau não sendo fácil determinar a sua f(t). A partir disso, um método para solucionar essa questão é o uso de frações parciais, que possibilitam reescrever o polinômio de uma maneira em que ele tenha apenas um grau ou dois, sendo fácil, então, determinar sua transformada inversa.[3]

Por exemplo:

Sendo  

Utilizando frações parciais podemos escrevê-la como  

e então como

 

Chegando, então, ao seguinte sistema:

 

Ao resolvê-lo, chegamos em   e  

Dessa forma,   que é equivalente à  

Com isso, ao utilizarmos frações parciais, chegamos em uma expressão que contém apenas transformadas inversas conhecidas e tabeladas, podendo ser facilmente determinada:

 

Referências

  1. «Faça exemplos com O Monitor». omonitor.io. Consultado em 22 de março de 2016 
  2. «Exemplo de Matemática Aplicada II UFRGS» (PDF). Esequia Sauter - UFRGS – INSTITUTO DE MATEMÁTICA Departamento de Matemática Pura e Aplicada [ligação inativa]
  3. SAUTER, Esequia; SOUTO DE AZEVEDO, Fabio; STRAUCH, Irene (2018). Transformada de Laplace - Um Livro Colaborativo. Porto Alegre: [s.n.]
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