Em álgebra , Decomposição em frações parciais ou Expansão em frações parciais é um método que permite decompor expressões racionais, isto é, quocientes de dois polinômios , em uma soma de frações mais simples, chamadas frações parciais . É um recurso matemático muito utilizado na simplificação de problemas envolvendo integrais e transformadas de Laplace .
Dada uma função racional
R
(
x
)
=
P
(
x
)
Q
(
x
)
{\displaystyle R(x)={\frac {P(x)}{Q(x)}}}
P
(
x
)
{\displaystyle {P(x)}}
Q
(
x
)
{\displaystyle {Q(x)}}
Q seja maior que o grau de P , têm-se que:
1) Decomposição de fator linear
x
−
a
{\displaystyle x-a}
multiplicidade n.
R
(
x
)
=
P
(
x
)
(
x
−
a
)
n
=
A
1
(
x
−
a
)
+
A
2
(
x
−
a
)
2
+
.
.
.
+
A
n
(
x
−
a
)
n
{\displaystyle R(x)={\frac {P(x)}{(x-a)^{n}}}={\frac {A_{1}}{(x-a)}}+{\frac {A_{2}}{(x-a)^{2}}}+...+{\frac {A_{n}}{(x-a)^{n}}}}
[ 1]
Exemplo:
R
(
x
)
=
(
x
+
1
x
∗
(
x
+
2
)
2
)
=
(
A
x
)
+
(
B
x
+
2
)
+
(
C
(
x
+
2
)
2
)
{\textstyle R(x)=\left({\frac {x+1}{x*(x+2)^{2}}}\right)=\left({\frac {A}{x}}\right)+\left({\frac {B}{x+2}}\right)+\left({\frac {C}{(x+2)^{2}}}\right)}
Decompomos o denominador acima no maior número de frações possíveis.
=
(
A
(
x
+
2
)
2
+
B
x
(
x
+
2
)
+
C
x
x
(
x
+
2
)
2
)
=
(
(
A
x
2
+
4
A
x
+
4
A
)
+
(
B
x
2
+
2
B
x
)
+
C
x
x
(
x
+
2
)
2
)
{\displaystyle =\left({\frac {A(x+2)^{2}+Bx(x+2)+Cx}{x(x+2)^{2}}}\right)=\left({\frac {(Ax^{2}+4Ax+4A)+(Bx^{2}+2Bx)+Cx}{x(x+2)^{2}}}\right)}
Rearrumando os termos do numerador:
=
(
x
2
(
A
+
B
)
+
x
(
4
A
+
2
B
+
C
)
+
4
A
x
(
x
+
2
)
2
)
{\displaystyle =\left({\frac {x^{2}(A+B)+x(4A+2B+C)+4A}{x(x+2)^{2}}}\right)}
A fim de criar um sistema envolvendo os coeficientes das potências de
x
{\displaystyle x}
{
A
+
B
=
0
4
A
+
2
B
+
C
=
1
4
A
=
1
{\displaystyle {\begin{cases}A+B=0\\4A+2B+C=1\\4A=1\end{cases}}}
Resolvendo o sistema, temos que A= 1/4 B= -1/4 e C= 1/2
Portanto a nova fração é dada por:
(
1
4
x
)
−
(
1
4
(
x
+
2
)
)
+
(
1
2
(
x
+
2
)
2
)
{\textstyle \left({\frac {1}{4x}}\right)-\left({\frac {1}{4(x+2)}}\right)+\left({\frac {1}{2(x+2)^{2}}}\right)}
2) Decomposição de um fator quadrático irredutível
(
x
−
a
)
2
+
b
2
{\displaystyle (x-a)^{2}+b^{2}}
R
(
x
)
=
P
(
x
)
[
(
x
−
a
)
2
+
b
2
]
n
=
A
1
∗
x
+
B
1
[
(
x
−
a
)
2
+
b
2
]
+
A
2
∗
x
+
B
2
[
(
x
−
a
)
2
+
b
2
]
2
+
.
.
.
+
A
n
∗
x
+
B
n
[
(
x
−
a
)
2
+
b
2
]
n
{\displaystyle R(x)={\frac {P(x)}{[(x-a)^{2}+b^{2}]^{n}}}={\frac {A_{1}*x+B_{1}}{[(x-a)^{2}+b^{2}]}}+{\frac {A_{2}*x+B_{2}}{[(x-a)^{2}+b^{2}]^{2}}}+...+{\frac {A_{n}*x+B_{n}}{[(x-a)^{2}+b^{2}]^{n}}}}
3) Podemos também decompor frações em denominadores simples, primos e irredutíveis:
Exemplo:
(
1
18
)
=
(
1
2
)
−
(
1
3
)
−
(
1
3
2
)
{\displaystyle \left({\frac {1}{18}}\right)=\left({\frac {1}{2}}\right)-\left({\frac {1}{3}}\right)-\left({\frac {1}{3^{2}}}\right)}
4) Outra técnica utilizada é a técnica dos limites ou método de Heaviside :
Exemplo:
R
(
x
)
=
(
x
2
+
3
x
−
4
(
x
+
3
)
(
x
+
2
)
(
x
−
2
)
)
{\displaystyle R(x)=\left({\frac {x^{2}+3x-4}{(x+3)(x+2)(x-2)}}\right)}
Podemos reescrever a fração como;
(
A
x
+
3
)
+
(
B
x
−
2
)
+
(
C
x
+
2
)
{\displaystyle \left({\frac {A}{x+3}}\right)+\left({\frac {B}{x-2}}\right)+\left({\frac {C}{x+2}}\right)}
Agora usamos os limites para determinar os coeficientes.
A
=
lim
x
→
−
3
(
x
2
+
3
x
−
4
(
x
−
2
)
(
x
+
2
)
)
=
(
9
−
9
−
4
(
−
5
)
(
−
1
)
)
=
−
(
4
5
)
{\displaystyle A=\lim _{x\to -3}\left({\frac {x^{2}+3x-4}{(x-2)(x+2)}}\right)=\left({\frac {9-9-4}{(-5)(-1)}}\right)=-\left({\frac {4}{5}}\right)}
B
=
lim
x
→
2
(
x
2
+
3
x
−
4
(
x
+
3
)
(
x
+
2
)
)
=
(
4
+
6
−
4
(
5
)
(
4
)
)
=
(
3
10
)
{\displaystyle B=\lim _{x\to 2}\left({\frac {x^{2}+3x-4}{(x+3)(x+2)}}\right)=\left({\frac {4+6-4}{(5)(4)}}\right)=\left({\frac {3}{10}}\right)}
C
=
lim
x
→
−
2
(
x
2
+
3
x
−
4
(
x
+
3
)
(
x
−
2
)
)
=
(
4
−
6
−
4
(
1
)
(
−
4
)
)
=
(
3
2
)
{\displaystyle C=\lim _{x\to -2}\left({\frac {x^{2}+3x-4}{(x+3)(x-2)}}\right)=\left({\frac {4-6-4}{(1)(-4)}}\right)=\left({\frac {3}{2}}\right)}
Logo a nova expressão é dada por:
−
(
4
5
(
x
+
3
)
)
+
(
3
10
(
x
−
2
)
)
+
(
3
2
(
x
+
2
)
)
{\displaystyle -\left({\frac {4}{5(x+3)}}\right)+\left({\frac {3}{10(x-2)}}\right)+\left({\frac {3}{2(x+2)}}\right)}
[ 2]
Muitas vezes, ao tentar calcular a transformada inversa de uma F(s), nos deparamos com um polinômio de alto grau não sendo fácil determinar a sua f(t). A partir disso, um método para solucionar essa questão é o uso de frações parciais, que possibilitam reescrever o polinômio de uma maneira em que ele tenha apenas um grau ou dois, sendo fácil, então, determinar sua transformada inversa.[ 3]
Por exemplo:
Sendo
F
(
s
)
=
1
(
s
−
1
)
(
s
2
+
1
)
{\displaystyle F(s)={\frac {1}{(s-1)(s^{2}+1)}}}
Utilizando frações parciais podemos escrevê-la como
F
(
s
)
=
A
(
s
−
1
)
+
B
+
C
s
(
s
2
+
1
)
{\displaystyle F(s)={\frac {A}{(s-1)}}+{\frac {B+Cs}{(s^{2}+1)}}}
e então como
F
(
s
)
=
A
(
s
2
+
1
)
+
(
B
+
C
s
)
(
s
−
1
)
(
s
−
1
)
(
s
2
+
1
)
{\displaystyle F(s)={\frac {A(s^{2}+1)+(B+Cs)(s-1)}{(s-1)(s^{2}+1)}}}
Chegando, então, ao seguinte sistema:
{
A
+
C
=
0
B
−
C
=
0
A
−
B
=
1
{\displaystyle {\begin{cases}\ A+C=0\\B-C=0\\\ A-B=1\end{cases}}\ \ {\begin{aligned}&\ \\&\ \\&\ \end{aligned}}\ \ \ }
Ao resolvê-lo, chegamos em
A
=
1
2
{\displaystyle A={\frac {1}{2}}}
B
=
C
=
−
1
2
{\displaystyle B=C=-{\frac {1}{2}}}
Dessa forma,
F
(
s
)
=
1
2
(
1
(
s
−
1
)
−
s
+
1
(
s
2
+
1
)
)
{\displaystyle F(s)={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{(s-1)}}-{\frac {s+1}{(s^{2}+1)}}\right)}
F
(
s
)
=
1
2
(
1
(
s
−
1
)
−
s
(
s
2
+
1
)
−
1
(
s
2
+
1
)
)
{\displaystyle F(s)={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{(s-1)}}-{\frac {s}{(s^{2}+1)}}-{\frac {1}{(s^{2}+1)}}\right)}
Com isso, ao utilizarmos frações parciais, chegamos em uma expressão que contém apenas transformadas inversas conhecidas e tabeladas, podendo ser facilmente determinada:
f
(
t
)
=
1
2
(
e
t
−
cos
(
t
)
−
s
e
n
(
t
)
)
{\displaystyle f(t)={\frac {1}{2}}(e^{t}-\cos(t)-sen(t))}
![{\displaystyle R(x)={\frac {P(x)}{[(x-a)^{2}+b^{2}]^{n}}}={\frac {A_{1}*x+B_{1}}{[(x-a)^{2}+b^{2}]}}+{\frac {A_{2}*x+B_{2}}{[(x-a)^{2}+b^{2}]^{2}}}+...+{\frac {A_{n}*x+B_{n}}{[(x-a)^{2}+b^{2}]^{n}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12c45259d33a1168be718d7215f02d0f86e08f7c)
