Função de demanda Marshalliana

Em microeconomia, a função de demanda Marshalliana de um consumidor (nomeada em homenagem a Alfred Marshall) é a quantidade que este procura de um determinado bem em função do seu preço, do seu rendimento e dos preços de outros bens, uma exposição mais técnica da função de procura padrão. É uma solução para o problema da maximização da utilidade, que consiste em saber como é que o consumidor pode maximizar a sua utilidade para determinados rendimentos e preços. Um termo sinónimo é função de demanda não compensada, porque quando o preço aumenta o consumidor não é compensado com um rendimento nominal mais elevado pela queda do seu rendimento real, ao contrário do que acontece na função de demanda Hicksiana. Assim, a variação da quantidade procurada é uma combinação de um efeito de substituição e de um efeito de riqueza. Embora a demanda Marshalliana se insira no contexto da teoria do equilíbrio parcial, é por vezes designada por demanda Walrasiana, tal como utilizada na teoria do equilíbrio geral (nomeada em homenagem a Léon Walras).

De acordo com o problema de maximização da utilidade, existem $L$mercadorias com um vetor de preços $p$ e um vetor de quantidades selecionáveis $x$. O consumidor tem um rendimento $I$ e, por conseguinte, um conjunto de pacotes acessíveis

$B(p,I)=\{x:p\cdot x\leq I\},$

onde $p\cdot x=\sum _{i}^{L}p_{i}x_{i}$ é o produto escalar dos vetores preço e quantidade. O consumidor tem uma função de utilidade

$u:\mathbb {R} _{+}^{L}\rightarrow \mathbb {R} .$

A correspondência Marshalliana da demanda do consumidor é definida como sendo

$x^{*}(p,I)=\operatorname {argmax} _{x\in B(p,I)}u(x)$

Preferência revelada

A teoria de Marshall sugere que a procura de utilidade é um fator de motivação para um consumidor que pode ser alcançado através do consumo de bens ou serviços. O montante da utilidade do consumidor depende do nível de consumo de um determinado bem, que está sujeito à tendência fundamental da natureza humana e é descrito como a lei da utilidade marginal decrescente.

Como o máximo de utilidade existe sempre, a correspondência da demanda Marshalliana deve ser não vazia em todos os valores que correspondem ao conjunto de orçamento padrão.

Singularidade

$x^{*}(p,I)$ chama-se uma correspondência porque, em geral, pode ter um valor definido - pode haver vários conjuntos diferentes que atinjam a mesma utilidade máxima. Em alguns casos, existe um único conjunto que maximiza a utilidade para cada situação de preço e rendimento. Então $x^{*}(p,I)$ é uma função e é chamada de função de demanda Marshalliana .

Se o consumidor tem estritamente preferências convexas e os preços de todos os bens são estritamente positivos, então existe um único cabaz que maximiza a utilidade. Para o provar, suponhamos, por contradição, que existem dois conjuntos diferentes, $x_{1}$ e $x_{2}$ que maximizam a utilidade. Depois $x_{1}$ e $x_{2}$ são igualmente preferidos. Por definição de convexidade estrita, o conjunto misto $0.5x_{1}+0.5x_{2}$ é estritamente melhor do que $x_{1},x_{2}$. Mas isto contradiz a otimização de $x_{1},x_{2}$.

Continuidade

O teorema do máximo implica que se:

• A função utilidade $u(x)$ é contínua em relação a $x$ ,
• A correspondência $B(p,I)$ não é vazio, tem valor compacto e é contínuo em relação a $p,I$ ,

depois $x^{*}(p,I)$ é uma correspondência semicontínua superior. Além disso, se $x^{*}(p,I)$ é único, então é uma função contínua de $p$ e $I$.

Combinando com a subsecção anterior, se o consumidor tiver preferências estritamente convexas, então a demanda marshalliana é única e contínua. Em contrapartida, se as preferências não forem convexas, então a demanda marshalliana pode ser não única e não contínua.

Homogeneidade

A correspondência de demanda Marshalliana ótima de uma função de utilidade contínua é uma função homogénea com grau zero. Isto significa que para cada constante $a>0,$

$x^{*}(a\cdot p,a\cdot I)=x^{*}(p,I).$

Isto é intuitivamente claro. Suponhamos que $p$ e $I$ são medidos em dólares. Quando $a=100$, $ap$ e $aI$ são exatamente as mesmas quantidades medidas em centavos. Quando os preços e a riqueza aumentam por um fator a, o padrão de compra de um agente económico mantém-se constante. Obviamente, a expressão dos preços e do rendimento em unidades de medida diferentes não deve afetar a procura.

Curva de demanda

A teoria de Marshall explora o facto de a curva da procura representar os valores marginais decrescentes de um bem. A teoria insiste no facto de que a decisão de compra do consumidor depende da utilidade de um bem ou serviço em relação ao preço, uma vez que a utilidade adicional que o consumidor ganha deve ser pelo menos igual ao preço. A sugestão seguinte propõe que o preço procurado seja igual ao preço máximo que o consumidor pagaria por uma unidade extra de bem ou serviço. Assim, a utilidade é mantida constante ao longo da curva da procura. Quando a utilidade marginal do rendimento é constante, ou o seu valor é o mesmo para todos os indivíduos numa curva de procura de mercado, é possível gerar benefícios líquidos das unidades compradas, ou excedente do consumidor, através da soma dos preços de procura.

O ponto de intersecção do “Preço” e da “Utilidade marginal = Procura” indica o nível ótimo de consumo de um indivíduo.

Exemplos

Nos exemplos seguintes, existem duas mercadorias, 1 e 2.

1. A função de utilidade tem a forma Cobb – Douglas :

$u(x_{1},x_{2})=x_{1}^{\alpha }x_{2}^{\beta }.$

A otimização condicionada conduz à função de procura Marshalliana:

$x^{*}(p_{1},p_{2},I)=\left({\frac {\alpha I}{(\alpha +\beta )p_{1}}},{\frac {\beta I}{(\alpha +\beta )p_{2}}}\right).$

2. A função de utilidade é uma função de utilidade CES :

$u(x_{1},x_{2})=\left[{\frac {x_{1}^{\delta }}{\delta }}+{\frac {x_{2}^{\delta }}{\delta }}\right]^{\frac {1}{\delta }}.$

Então $x^{*}(p_{1},p_{2},I)=\left({\frac {Ip_{1}^{\epsilon -1}}{p_{1}^{\epsilon }+p_{2}^{\epsilon }}},{\frac {Ip_{2}^{\epsilon -1}}{p_{1}^{\epsilon }+p_{2}^{\epsilon }}}\right),\quad {\text{with}}\quad \epsilon ={\frac {\delta }{\delta -1}}.$

Em ambos os casos, as preferências são estritamente convexas, a procura é única e a função procura é contínua.

3. A função de utilidade tem a forma linear:

$u(x_{1},x_{2})=x_{1}+x_{2}.$

A função de utilidade é apenas fracamente convexa e, de facto, a procura não é única: quando $p_{1}=p_{2}$o consumidor pode dividir o seu rendimento em rácios arbitrários entre os tipos de produtos 1 e 2 e obter a mesma utilidade.

4. A função de utilidade exibe uma taxa marginal de substituição não decrescente:

$u(x_{1},x_{2})=(x_{1}^{\alpha }+x_{2}^{\alpha }),\quad {\text{with}}\quad \alpha >1.$

A função de utilidade não é convexa e, de facto, a procura não é contínua: quando $p_{1}<p_{2}$, o consumidor procura apenas o produto 1, e quando $p_{2}<p_{1}$, o consumidor procura apenas o produto 2 (quando $p_{1}=p_{2}$ a correspondência da procura contém dois pacotes distintos: ou se compra apenas o produto 1 ou se compra apenas o produto 2).

Ligações externas

• Mas-Colell, Andreu; Whinston, Michael; Green, Jerry (1995). Microeconomic Theory. Oxford: Oxford University Press. ISBN 0-19-507340-1 
• Nicholson, Walter (1978). Microeconomic Theory Second ed. Hinsdale: Dryden Press. pp. 90–93. ISBN 0-03-020831-9 
• Silberberg, E. (2008). Hicksian and Marshallian Demands. London: Palgrave Macmillan, London. ISBN 978-1-349-95121-5 
• Levin, Jonathan; Milgrom, Paul (outubro 2004). «Consumer Theory» (PDF). Consultado em 21 Abril 2021 
• Wong, Stanley (2006). Foundations of Paul Samuelson's revealed preference theory (PDF) Revised ed. [S.l.]: Routledge. ISBN 0-203-34983-0. Consultado em 19 Abril 2021